線分EGと線分FHの交点をPとするとき、ベクトル$\overrightarrow{AP}$とベクトル$\overrightarrow{PC}$をベクトル$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$を用いて表す問題です。ここで、$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}$とします。

1. 問題の内容

線分EGと線分FHの交点をPとするとき、ベクトル$\overrightarrow{AP}$とベクトル$\overrightarrow{PC}$をベクトル$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$を用いて表す問題です。ここで、$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}$とします。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル$\overrightarrow{AP}$を求めます。点Pは線分EGとFHの交点であるため、線分EGの中点であると考えられます。したがって、$\overrightarrow{EP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{EG}$となります。

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EP}$と表せるので、

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AE} + \frac{1}{2}\overrightarrow{EG}$

$\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG}$であり、$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}$なので、$\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$となります。

これを$\overrightarrow{AP}$の式に代入すると、

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AE} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{c}$なので、

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{c} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

次に、ベクトル$\overrightarrow{PC}$を求めます。

$\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AP}$であり、$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$なので、

$\overrightarrow{PC} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) - (\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{PC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$