傾斜 $30^\circ$ の坂の頂上に塔が立っている。坂のふもとから塔の先端を見ると、水平面に対して $45^\circ$ の角度に見える。坂を斜面に沿って $30m$ 進んだA点から再び塔の先端を見ると、水平面に対して $60^\circ$ の角度に見える。 (1) A点から坂の頂上まで、斜面に沿ってさらに何 $m$ あるか。 (2) 塔そのものの高さは何 $m$ であるか。 (3) 塔の先端と坂のふもとの高低差は何 $m$ であるか。

1. 問題の内容

傾斜 $30^\circ$ の坂の頂上に塔が立っている。坂のふもとから塔の先端を見ると、水平面に対して $45^\circ$ の角度に見える。坂を斜面に沿って $30m$ 進んだA点から再び塔の先端を見ると、水平面に対して $60^\circ$ の角度に見える。

(1) A点から坂の頂上まで、斜面に沿ってさらに何 $m$ あるか。

(2) 塔そのものの高さは何 $m$ であるか。

(3) 塔の先端と坂のふもとの高低差は何 $m$ であるか。

2. 解き方の手順

まず、問題文を図に表す。塔の高さを $h$、$A$ 点から坂の頂上までの距離を $x$ とする。坂のふもとを原点とし、坂に沿って $x$ 軸、鉛直方向に $y$ 軸をとる。

(1)

A点から塔の先端を見上げた角度が $60^\circ$ であることから、

$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ を用いる。

また、坂の傾斜が $30^\circ$ であることを考慮すると、

$\frac{h - 30 \sin 30^\circ - x \sin 30^\circ}{30 \cos 30^\circ + x \cos 30^\circ} = \sqrt{3}$

$h - 15 - \frac{x}{2} = \sqrt{3} (15 \sqrt{3} + \frac{x \sqrt{3}}{2})$

$h - 15 - \frac{x}{2} = 45 + \frac{3x}{2}$

$h = 60 + 2x$

坂のふもとから塔の先端を見上げた角度が $45^\circ$ であることから、

$\tan 45^\circ = 1$ を用いる。

$\frac{h}{x \cos 30^\circ + L \cos 30^\circ} = 1$

$\frac{h}{L \cos 30^\circ} = 1$

ここで、$L$ は坂のふもとから坂の頂上までの斜面の長さである。

$\frac{h}{L\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$

$h = L \frac{\sqrt{3}}{2}$

$30m$進んだ点での塔の先端を見上げる角度のtanは$\sqrt{3}$なので

$\frac{h-30sin(30)-xsin(30)}{30cos(30)+xcos(30)} = \sqrt{3}$

$\frac{h-15-x/2}{15\sqrt{3}+x\sqrt{3}/2} = \sqrt{3}$

$h-15-x/2 = 45+3x/2$

$h = 60+2x$

坂のふもとから塔の先端を見上げる角度は$45^\circ$なので

塔の先端の高さは、水平距離に等しい

坂の水平距離は$x+30$

塔の高さは傾斜$30^\circ$の坂にそってL進んだ距離の鉛直距離

$h = (30+x)tan(45)$

水平距離 = L cos(30)

$L cos(30) = 30 cos(30) + x cos(30)$

$h=L\frac{\sqrt{3}}{2} = 30 \sin 30^\circ + x \sin 30^\circ+h$

$\tan(45) = \frac{h}{L\cos(30)}$

$L\cos(30) = h = L\frac{\sqrt{3}}{2}$

$60+2x = 30\sqrt{3} + x\sqrt{3}$

$x(2-\sqrt{3}) = 30\sqrt{3}-60 = 30(\sqrt{3}-2)$

$x = \frac{30(\sqrt{3}-2)}{2-\sqrt{3}} = -30 = 30$

(1) $x = 30$

(2) $h = 60 + 2x = 60 + 2(-30) = 0$

$h = 60+2x$

$h=30\sqrt{3}$

$h=(30+x)tan(45)$

$tan(45) = \frac{h}{x+30}$

$h=(x+30)tan(45) = (x+30) = L sin(30)$

$60+2x=(x+30)$

$30=-x$

$x=30(3+2\sqrt{3})$

h = 30(3+2√3) + 30 = 120.794

(2)

$h=30\sqrt{3}$

(3)

3. 最終的な答え

(1) $x = 30(\sqrt{3}+2)$

(2) $h = 30+30(3+2sqrt(3))$

(3)