$AD // BC$ である等脚台形 $ABCD$ において、$AB = 5$、$BC = 13$、$AD = 8$ である。この台形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$AD // BC$ である等脚台形 $ABCD$ において、$AB = 5$、$BC = 13$、$AD = 8$ である。この台形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

等脚台形 $ABCD$ において、$A$ および $D$ から $BC$ に垂線を下ろし、その交点をそれぞれ $E$、$F$ とする。

このとき、$BE = CF$ である。

$BC = BE + EF + FC$ であり、$EF = AD = 8$ であるから、$13 = BE + 8 + CF$。

$BE = CF$ より、$2BE = 13 - 8 = 5$。

したがって、$BE = CF = \frac{5}{2}$。

直角三角形 $ABE$ において、三平方の定理より、$AE^2 + BE^2 = AB^2$。

$AE^2 + (\frac{5}{2})^2 = 5^2$。

$AE^2 + \frac{25}{4} = 25$。

$AE^2 = 25 - \frac{25}{4} = \frac{100}{4} - \frac{25}{4} = \frac{75}{4}$。

したがって、$AE = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{\sqrt{75}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$。

台形 $ABCD$ の面積は、$\frac{1}{2} (AD + BC) \times AE$ で求められる。

$\frac{1}{2} (8 + 13) \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 21 \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{105\sqrt{3}}{4}$。

3. 最終的な答え

$\frac{105\sqrt{3}}{4}$