$AD // BC$である等脚台形$ABCD$において、$AB = 12$, $BC = 20$, $AD = 8$である。この台形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$AD // BC$である等脚台形$ABCD$において、$AB = 12$, $BC = 20$, $AD = 8$である。この台形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

等脚台形$ABCD$において、$A$および$D$から$BC$に垂線を下ろし、交点をそれぞれ$E$、$F$とする。

すると、$AD = EF = 8$である。

また、台形が等脚台形であることから、$BE = CF$である。

$BE + EF + FC = BC$であるから、$BE + 8 + CF = 20$となる。

$BE = CF$なので、$2BE = 12$となり、$BE = 6$となる。

次に、直角三角形$ABE$について、三平方の定理より、$AE^2 + BE^2 = AB^2$が成り立つ。

したがって、$AE^2 + 6^2 = 12^2$となる。

$AE^2 + 36 = 144$

$AE^2 = 108$

$AE = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$

台形の面積は、$S = \frac{1}{2} (AD + BC) \times AE$で求められる。

$S = \frac{1}{2} (8 + 20) \times 6\sqrt{3}$

$S = \frac{1}{2} \times 28 \times 6\sqrt{3}$

$S = 14 \times 6\sqrt{3}$

$S = 84\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$84\sqrt{3}$