$AD // BC$である等脚台形ABCDにおいて、$AB = 12$, $BC = 20$, $AD = 8$であるとき、この台形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$AD // BC$である等脚台形ABCDにおいて、$AB = 12$, $BC = 20$, $AD = 8$であるとき、この台形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

等脚台形ABCDにおいて、A, DからBCへそれぞれ垂線AE, DFを下ろす。

このとき、四角形AEFDは長方形となるので、$EF = AD = 8$。

$BE = FC = (BC - EF) / 2 = (20 - 8) / 2 = 12 / 2 = 6$。

三角形ABEにおいて、三平方の定理より、$AE^2 + BE^2 = AB^2$。

$AE^2 + 6^2 = 12^2$なので、$AE^2 = 144 - 36 = 108$。

よって、$AE = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}$。

台形ABCDの面積は、$(AD + BC) \times AE / 2$で求められる。

$(8 + 20) \times 6\sqrt{3} / 2 = 28 \times 3\sqrt{3} = 84\sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

$84\sqrt{3}$