問題1：鋭角三角形ABCにおいて、$a = 2b \sin A$が成り立つとき、$a = 3\sqrt{3}$、$c = 5$である。このとき、$b$を求めよ。 問題2：三角形ABCにおいて、以下の条件を満たすとき、どのような三角形になるか答えよ。 (1) $\sin A = \sin B$ (2) $\sin A \cos A = \sin B \cos B$

1. 問題の内容

問題1：鋭角三角形ABCにおいて、$a = 2b \sin A$が成り立つとき、$a = 3\sqrt{3}$、$c = 5$である。このとき、$b$を求めよ。

問題2：三角形ABCにおいて、以下の条件を満たすとき、どのような三角形になるか答えよ。

(1) $\sin A = \sin B$

(2) $\sin A \cos A = \sin B \cos B$

2. 解き方の手順

問題1：

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$。

$\sin A = \frac{a}{2b}$を代入すると、

$\frac{a}{\frac{a}{2b}} = \frac{b}{\sin B}$

$2b = \frac{b}{\sin B}$

$\sin B = \frac{1}{2}$

$B = 30^\circ$ または $B = 150^\circ$

しかし、三角形ABCは鋭角三角形なので、$B = 30^\circ$。

余弦定理より、$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$b^2 = (3\sqrt{3})^2 + 5^2 - 2(3\sqrt{3})(5) \cos 30^\circ$

$b^2 = 27 + 25 - 30\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 52 - 30 \times \frac{3}{2}$

$b^2 = 52 - 45 = 7$

$b = \sqrt{7}$

問題2：

(1) $\sin A = \sin B$

$A = B$または$A = 180^\circ - B$。

$A = B$のとき、二等辺三角形。

$A = 180^\circ - B$のとき、$A + B = 180^\circ$となるが、これは三角形の内角の和の性質より不可能。

よって、二等辺三角形。

(2) $\sin A \cos A = \sin B \cos B$

$\frac{1}{2} \sin 2A = \frac{1}{2} \sin 2B$

$\sin 2A = \sin 2B$

$2A = 2B$ または $2A = 180^\circ - 2B$

$A = B$ または $A = 90^\circ - B$

$A = B$のとき、二等辺三角形。

$A = 90^\circ - B$のとき、$A + B = 90^\circ$なので、直角三角形。ただし、$C=90^\circ$。

または$A = B = 45^\circ$のとき、直角二等辺三角形。

$A + B = 90^\circ$になるので、$C = 90^\circ$の直角三角形。

3. 最終的な答え

問題1：$b = \sqrt{7}$

問題2：

(1) $A=B$の二等辺三角形

(2) $A=B$の二等辺三角形、または$C=90^\circ$の直角三角形