円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 3, BC = 5, CD = 4, DA = 3である。∠B = θとするとき、cos θの値と四角形ABCDの面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 3, BC = 5, CD = 4, DA = 3である。∠B = θとするとき、cos θの値と四角形ABCDの面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) cos θ の値を求める。

四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は180°である。したがって、∠D = 180° - θとなる。

三角形ABCにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos θ$

$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos θ$

$AC^2 = 9 + 25 - 30 \cos θ$

$AC^2 = 34 - 30 \cos θ$

三角形ADCにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos (180° - θ)$

$AC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos (180° - θ)$

$AC^2 = 9 + 16 - 24 \cos (180° - θ)$

$AC^2 = 25 + 24 \cos θ$

したがって、

$34 - 30 \cos θ = 25 + 24 \cos θ$

$9 = 54 \cos θ$

$\cos θ = \frac{9}{54} = \frac{1}{6}$

(2) 四角形ABCDの面積Sを求める。

四角形ABCDの面積は、三角形ABCの面積と三角形ADCの面積の和である。

三角形ABCの面積は、

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin θ = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin θ = \frac{15}{2} \sin θ$

三角形ADCの面積は、

$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin (180° - θ) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin (180° - θ) = 6 \sin θ$

$\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1$より、$\sin^2 θ = 1 - \cos^2 θ = 1 - (\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$

したがって、$\sin θ = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}$

$S = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{15}{2} \sin θ + 6 \sin θ = (\frac{15}{2} + 6) \sin θ = \frac{27}{2} \sin θ = \frac{27}{2} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{9\sqrt{35}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos θ = \frac{1}{6}$

(2) $S = \frac{9\sqrt{35}}{4}$