2つの直線 $y = 2x - 1$ と $y = \frac{1}{3}x + 1$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = 2x - 1$ と $y = \frac{1}{3}x + 1$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

2つの直線の傾きをそれぞれ $m_1$, $m_2$ とすると、

$m_1 = 2$, $m_2 = \frac{1}{3}$ である。

2つの直線のなす角を $\theta$ とすると、$\tan \theta$ は次の式で与えられる。

$$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$$

これに $m_1$ と $m_2$ の値を代入する。

$$\tan \theta = \left| \frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + 2 \cdot \frac{1}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{5}{3}}{1 + \frac{2}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} \right| = |1| = 1$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{4}$