2直線 $2x + 7y + 13 = 0$ と $5x - 6y + 12 = 0$ の交点と、点 $(2, 1)$ を通る直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

2直線 $2x + 7y + 13 = 0$ と $5x - 6y + 12 = 0$ の交点と、点 $(2, 1)$ を通る直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、2直線の交点を求める。

$2x + 7y + 13 = 0$ ...(1)

$5x - 6y + 12 = 0$ ...(2)

(1)式を5倍、(2)式を2倍する。

$10x + 35y + 65 = 0$ ...(3)

$10x - 12y + 24 = 0$ ...(4)

(3)式から(4)式を引く。

$47y + 41 = 0$

$y = -\frac{41}{47}$

これを(1)式に代入する。

$2x + 7(-\frac{41}{47}) + 13 = 0$

$2x - \frac{287}{47} + 13 = 0$

$2x - \frac{287}{47} + \frac{611}{47} = 0$

$2x + \frac{324}{47} = 0$

$2x = -\frac{324}{47}$

$x = -\frac{162}{47}$

したがって、2直線の交点は $(-\frac{162}{47}, -\frac{41}{47})$ である。

次に、点 $(-\frac{162}{47}, -\frac{41}{47})$ と点 $(2, 1)$ を通る直線の方程式を求める。

直線の傾き $m$ は

$m = \frac{1 - (-\frac{41}{47})}{2 - (-\frac{162}{47})} = \frac{1 + \frac{41}{47}}{2 + \frac{162}{47}} = \frac{\frac{88}{47}}{\frac{256}{47}} = \frac{88}{256} = \frac{11}{32}$

直線の方程式は、$y - 1 = \frac{11}{32}(x - 2)$

$y - 1 = \frac{11}{32}x - \frac{22}{32}$

$y = \frac{11}{32}x - \frac{11}{16} + 1$

$y = \frac{11}{32}x + \frac{5}{16}$

両辺を32倍する。

$32y = 11x + 10$

$11x - 32y + 10 = 0$

3. 最終的な答え

$11x - 32y + 10 = 0$