半径 $r$ の円形の公園の周囲に、幅 $h$ の遊歩道がある。遊歩道の真ん中を通る円の周の長さを $l$ とするとき、この遊歩道の面積 $S$ を $h$ と $l$ の式で表せ。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円形の公園の周囲に、幅 $h$ の遊歩道がある。遊歩道の真ん中を通る円の周の長さを $l$ とするとき、この遊歩道の面積 $S$ を $h$ と $l$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

まず、遊歩道の外側の円の半径を求める。

公園の半径は $r$ で、遊歩道の幅は $h$ なので、遊歩道の外側の円の半径は $r + h$ となる。

次に、遊歩道の面積 $S$ を求める。

遊歩道の面積は、外側の円の面積から内側の円（公園）の面積を引いたものに等しい。

したがって、

$S = \pi (r+h)^2 - \pi r^2$

これを展開すると、

$S = \pi (r^2 + 2rh + h^2) - \pi r^2$

$S = \pi r^2 + 2\pi rh + \pi h^2 - \pi r^2$

$S = 2\pi rh + \pi h^2$

$S = \pi h (2r + h)$

ここで、遊歩道の真ん中を通る円の周の長さ $l$ は、半径が $r + \frac{h}{2}$ の円の周の長さであるから、

$l = 2\pi (r + \frac{h}{2})$

$l = 2\pi r + \pi h$

したがって、 $2\pi r = l - \pi h$ である。

これを面積の式 $S = \pi h (2r + h)$ に代入すると、

$S = h(2\pi r + \pi h)$

$S = h(l - \pi h + \pi h)$

$S = hl$

3. 最終的な答え

$S = hl$