問題10は、直方体を二つに分けてできた三角柱に関する問題で、以下の2つの問いに答える必要があります。 (1) 辺ABとねじれの位置にある辺をすべて答える。 (2) 面ABCと垂直な面をすべて答える。 問題11は、直角三角形ABCを辺ACを軸として1回転させてできる立体の体積と表面積を求める問題です。

1. 問題の内容

問題10は、直方体を二つに分けてできた三角柱に関する問題で、以下の2つの問いに答える必要があります。

(1) 辺ABとねじれの位置にある辺をすべて答える。

(2) 面ABCと垂直な面をすべて答える。

問題11は、直角三角形ABCを辺ACを軸として1回転させてできる立体の体積と表面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題10

(1) ねじれの位置にある辺は、平行でなく、交わらない辺のことです。辺ABと平行な辺はDEとCFです。辺ABと交わる辺はAEとBEとBCです。よって、辺ABとねじれの位置にある辺は、DCとEFとCFです。

(2) 面ABCと垂直な面は、面ABCと90度で交わる面のことです。面ABCと交わっている面は、面ABEと面BCFです。また、面ABCを含む立体である三角柱の底面は面ABCと面DEFです。面DEFは面ABCと平行であるため、面ABCと垂直な面は面ABEと面BCFです。

問題11

直角三角形ABCを辺ACを軸として1回転させると、円錐ができます。

円錐の体積は、底面積×高さ÷3で求められます。底面は半径3cmの円なので、底面積は $3 \times 3 \times \pi = 9\pi$ cm$^2$ です。高さはACの長さなので4cmです。したがって、体積は、$9\pi \times 4 \div 3 = 12\pi$ cm$^3$ です。

円錐の表面積は、底面積+側面積で求められます。底面積は $9\pi$ cm$^2$ です。側面積は、母線×半径×πで求められます。母線はABの長さなので5cmです。したがって、側面積は、$5 \times 3 \times \pi = 15\pi$ cm$^2$ です。したがって、表面積は、$9\pi + 15\pi = 24\pi$ cm$^2$ です。

3. 最終的な答え

問題10

(1) DC, EF, CF

(2) 面ABE, 面BCF

問題11

体積: $12\pi$ cm$^3$

表面積: $24\pi$ cm$^2$