点C($\vec{c}$)を中心とする半径$r$の円上の点をA($\vec{a}$)とする。点Aにおける円の接線上の点をP($\vec{p}$)とするとき、$(\vec{p}-\vec{c}) \cdot (\vec{a}-\vec{c}) = r^2$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

点C($\vec{c}$)を中心とする半径$r$の円上の点をA($\vec{a}$)とする。点Aにおける円の接線上の点をP($\vec{p}$)とするとき、$(\vec{p}-\vec{c}) \cdot (\vec{a}-\vec{c}) = r^2$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

* $\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c}$ は、円の中心から接点Aへ向かうベクトルであり、円の半径に相当する。したがって、$|\vec{a} - \vec{c}| = r$ が成り立つ。

* 点P($\vec{p}$)は、点Aにおける円の接線上にあるので、ベクトル $\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a}$ はベクトル $\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c}$ と直交する。

* 二つのベクトルが直交するということは、それらの内積が0になるということである。したがって、$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = 0$ が成り立つ。

* $(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = 0$ を展開すると、$\vec{p} \cdot (\vec{a} - \vec{c}) - \vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = 0$ となる。

* $\vec{p} \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{c})$ と変形できる。

* $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{c})$ を展開すると、$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{c}$ となる。

* $\vec{p} \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{c}$

* ここで、$(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{c})$ を展開すると、$\vec{p} \cdot \vec{a} - \vec{p} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{c}$ となる。

* $(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{c})$ を $\vec{p} \cdot (\vec{a} - \vec{c}) + \vec{c} \cdot (\vec{c} - \vec{a})$ と変形する。

* $\vec{p} \cdot (\vec{a} - \vec{c})$ に $\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{c}$ を代入すると、$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a}$ となる。

* $\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a}$ を $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{c})$ と変形する。

* $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = |\vec{a} - \vec{c}|^2$ であり、$|\vec{a} - \vec{c}| = r$ なので、$|\vec{a} - \vec{c}|^2 = r^2$ となる。

* よって、$(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = r^2$ が示された。

3. 最終的な答え

$(\vec{p}-\vec{c}) \cdot (\vec{a}-\vec{c}) = r^2$