三角形ABCにおいて、$CQ:QA = 1:3$, $BP:PC = 7:4$ であるとき、$AR:RB$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$CQ:QA = 1:3$, $BP:PC = 7:4$ であるとき、$AR:RB$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理を使って解きます。

チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、各辺上の点P,Q,Rが、線分AP, BQ, CRが一点Oで交わるための必要十分条件が、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

であるという定理です。

問題文より、$CQ:QA = 1:3$ なので、$\frac{CQ}{QA} = \frac{1}{3}$

また、$BP:PC = 7:4$ なので、$\frac{BP}{PC} = \frac{7}{4}$

よって、チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{3}}$

$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{\frac{7}{12}}$

$\frac{AR}{RB} = \frac{12}{7}$

よって、$AR:RB = 12:7$

3. 最終的な答え

$AR:RB = 12:7$