座標空間内に4点P(3, 1, 4), A(1, 2, 3), B(1, 1, 2), C(2, 1, 1)があります。 直線PAとxy平面の交点をA', 直線PBとxy平面の交点をB', 直線PCとxy平面の交点をC'とします。 (1) 三角形ABCの面積を求めよ。 (2) 三角形A'B'C'の面積を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間内に4点P(3, 1, 4), A(1, 2, 3), B(1, 1, 2), C(2, 1, 1)があります。

直線PAとxy平面の交点をA', 直線PBとxy平面の交点をB', 直線PCとxy平面の交点をC'とします。

(1) 三角形ABCの面積を求めよ。

(2) 三角形A'B'C'の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積を求める。

ベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を計算する。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (1, 1, 2) - (1, 2, 3) = (0, -1, -1)$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (2, 1, 1) - (1, 2, 3) = (1, -1, -2)$

$\vec{AB}$と$\vec{AC}$の外積を計算する。

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} = (2-1)\vec{i} - (0-(-1))\vec{j} + (0-(-1))\vec{k} = (1, -1, 1)$

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$で与えられる。

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

(2) 三角形A'B'C'の面積を求める。

直線PA, PB, PCの方程式を求める。

直線PAは、$\vec{OP} + t\vec{PA}$で表される。ここで$\vec{PA} = \vec{OA} - \vec{OP} = (1, 2, 3) - (3, 1, 4) = (-2, 1, -1)$

よって、直線PAは$(3, 1, 4) + t(-2, 1, -1) = (3-2t, 1+t, 4-t)$で表される。

xy平面との交点は、z座標が0である点なので、$4-t = 0$より$t = 4$。

したがって、A'の座標は$(3-2(4), 1+4, 0) = (-5, 5, 0)$。

同様に、直線PBは、$\vec{OP} + s\vec{PB}$で表される。ここで$\vec{PB} = \vec{OB} - \vec{OP} = (1, 1, 2) - (3, 1, 4) = (-2, 0, -2)$

よって、直線PBは$(3, 1, 4) + s(-2, 0, -2) = (3-2s, 1, 4-2s)$で表される。

xy平面との交点は、z座標が0である点なので、$4-2s = 0$より$s = 2$。

したがって、B'の座標は$(3-2(2), 1, 0) = (-1, 1, 0)$。

同様に、直線PCは、$\vec{OP} + u\vec{PC}$で表される。ここで$\vec{PC} = \vec{OC} - \vec{OP} = (2, 1, 1) - (3, 1, 4) = (-1, 0, -3)$

よって、直線PCは$(3, 1, 4) + u(-1, 0, -3) = (3-u, 1, 4-3u)$で表される。

xy平面との交点は、z座標が0である点なので、$4-3u = 0$より$u = \frac{4}{3}$。

したがって、C'の座標は$(3-\frac{4}{3}, 1, 0) = (\frac{5}{3}, 1, 0)$。

A'(-5, 5, 0), B'(-1, 1, 0), C'($\frac{5}{3}$, 1, 0)

$\vec{A'B'} = (-1, 1, 0) - (-5, 5, 0) = (4, -4, 0)$

$\vec{A'C'} = (\frac{5}{3}, 1, 0) - (-5, 5, 0) = (\frac{20}{3}, -4, 0)$

$\vec{A'B'} \times \vec{A'C'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & -4 & 0 \\ \frac{20}{3} & -4 & 0 \end{vmatrix} = (0-0)\vec{i} - (0-0)\vec{j} + (-16 - (-\frac{80}{3}))\vec{k} = (0, 0, \frac{32}{3})$

$S_{A'B'C'} = \frac{1}{2} |\vec{A'B'} \times \vec{A'C'}| = \frac{1}{2} \sqrt{(\frac{32}{3})^2} = \frac{1}{2} \frac{32}{3} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\frac{16}{3}$