(1) 半径 $r$、高さ $h$ の円柱の体積を文字を使って表し、半径を2倍、高さを3倍にしたときの体積が元の体積の何倍になるか求める。 (2) 底面積 $a^2$、高さ $b$ の正四角柱の底面積を $\frac{1}{4}$ 倍、高さを3倍にしたときの体積が元の体積の何倍になるか求める。 (3) 半径 $r$ の半球の体積と、底面の半径 $r$、高さ $2r$ の円柱の体積の比を求める。

1. 問題の内容

(1) 半径 $r$、高さ $h$ の円柱の体積を文字を使って表し、半径を2倍、高さを3倍にしたときの体積が元の体積の何倍になるか求める。

(2) 底面積 $a^2$、高さ $b$ の正四角柱の底面積を $\frac{1}{4}$ 倍、高さを3倍にしたときの体積が元の体積の何倍になるか求める。

(3) 半径 $r$ の半球の体積と、底面の半径 $r$、高さ $2r$ の円柱の体積の比を求める。

2. 解き方の手順

(1)

① 円柱の体積 $V_1$ は、底面積 $\pi r^2$ と高さ $h$ を用いて、

$V_1 = \pi r^2 h$

② 半径を2倍、高さを3倍にした円柱の体積 $V_2$ は、

$V_2 = \pi (2r)^2 (3h) = \pi (4r^2)(3h) = 12\pi r^2 h$

元の体積の何倍になるかは、

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{12\pi r^2 h}{\pi r^2 h} = 12$

(2)

元の正四角柱の体積 $V_1$ は、

$V_1 = a^2 b$

底面積を $\frac{1}{4}$ 倍、高さを3倍にした正四角柱の体積 $V_2$ は、

$V_2 = \frac{1}{4} a^2 (3b) = \frac{3}{4} a^2 b$

元の体積の何倍になるかは、

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{3}{4} a^2 b}{a^2 b} = \frac{3}{4}$

(3)

半径 $r$ の半球の体積 $V_A$ は、

$V_A = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3$

底面の半径 $r$、高さ $2r$ の円柱の体積 $V_B$ は、

$V_B = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3$

立体Aの体積が立体Bの体積の何倍になるかは、

$\frac{V_A}{V_B} = \frac{\frac{2}{3} \pi r^3}{2\pi r^3} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

① $\pi r^2 h$

② 12倍

(2) $\frac{3}{4}$倍

(3) $\frac{1}{3}$倍