三角形ABCにおいて、$a=5, b=3, c=7$ であるとき、角Cと三角形ABCの面積Sを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=5, b=3, c=7$ であるとき、角Cと三角形ABCの面積Sを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて角Cを求めます。

余弦定理は、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$で表されます。

この式に与えられた値を代入すると、

$7^2 = 5^2 + 3^2 - 2(5)(3)\cos{C}$

$49 = 25 + 9 - 30\cos{C}$

$49 = 34 - 30\cos{C}$

$15 = -30\cos{C}$

$\cos{C} = -\frac{1}{2}$

したがって、角Cは$C = 120^\circ$です。

次に、三角形の面積Sを求めます。

三角形の面積は、$S = \frac{1}{2}ab\sin{C}$で表されます。

$S = \frac{1}{2}(5)(3)\sin{120^\circ}$

$\sin{120^\circ} = \sin{(180^\circ - 60^\circ)} = \sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{1}{2}(5)(3)\frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$C = 120^\circ$

$S = \frac{15\sqrt{3}}{4}$