図において、点Iは三角形の内心である。角$\alpha = 30^\circ$, 角$\beta = 40^\circ$のとき、角$\gamma$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

図において、点Iは三角形の内心である。角$\alpha = 30^\circ$, 角$\beta = 40^\circ$のとき、角$\gamma$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

三角形の内角の和は$180^\circ$であるから、

$\alpha + \beta + \gamma' = 180^\circ$

ここで、$\gamma'$ は点Iを含まない頂点の角度を表す。与えられた値を用いて$\gamma'$を求めると、

$30^\circ + 40^\circ + \gamma' = 180^\circ$

$\gamma' = 180^\circ - 30^\circ - 40^\circ = 110^\circ$

Iが内心であることから、角$\alpha$と角$\gamma'$を二等分する線が点Iで交わる。

したがって、

$\gamma = \frac{\gamma'}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$

3. 最終的な答え

$\gamma = 55^\circ$