$\cos(\arctan 3)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\cos(\arctan 3)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\theta = \arctan 3$ とおきます。

このとき、$\tan \theta = 3$ となります。ここで、$\theta$ は $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲の角です。$\tan \theta = 3 > 0$ なので、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ であることがわかります。

次に、$\tan \theta = \frac{3}{1}$ と考え、直角三角形を描きます。この直角三角形において、角 $\theta$ の対辺の長さが 3、隣辺の長さが 1 となるようにします。

ピタゴラスの定理より、斜辺の長さは $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ となります。

したがって、$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ となります。

これを有理化すると、$\frac{\sqrt{10}}{10}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{10}}{10}$