(1) 底面の半径が $r$、高さが $h$ の円柱について、 ① この円柱の体積を文字を使って表す。 ② 半径を2倍、高さを3倍にすると、体積は何倍になるか求める。 (3) 半径が $r$ の半球の形をした立体Aと、底面の半径が $r$ で高さが $2r$ の円柱の形をした立体Bがある。立体Aの体積は立体Bの体積の何倍になるか求める。

1. 問題の内容

(1) 底面の半径が $r$、高さが $h$ の円柱について、

① この円柱の体積を文字を使って表す。

② 半径を2倍、高さを3倍にすると、体積は何倍になるか求める。

(3) 半径が $r$ の半球の形をした立体Aと、底面の半径が $r$ で高さが $2r$ の円柱の形をした立体Bがある。立体Aの体積は立体Bの体積の何倍になるか求める。

2. 解き方の手順

(1) ① 円柱の体積は、底面積×高さで求められる。底面積は $\pi r^2$ であり、高さは $h$ であるから、体積は $\pi r^2 h$ となる。

② もとの円柱の体積を $V_1$ とすると、$V_1 = \pi r^2 h$。

半径を2倍、高さを3倍にした円柱の体積を $V_2$ とすると、半径は $2r$、高さは $3h$ となるので、

$V_2 = \pi (2r)^2 (3h) = \pi (4r^2)(3h) = 12 \pi r^2 h$。

よって、$V_2/V_1 = (12 \pi r^2 h) / (\pi r^2 h) = 12$ より、体積は12倍になる。

(3) 立体A（半球）の体積を $V_A$ とする。球の体積は $\frac{4}{3} \pi r^3$ であるから、半球の体積は

$V_A = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3$。

立体B（円柱）の体積を $V_B$ とする。底面積は $\pi r^2$、高さは $2r$ であるから、

$V_B = \pi r^2 (2r) = 2 \pi r^3$。

よって、$V_A/V_B = (\frac{2}{3} \pi r^3) / (2 \pi r^3) = \frac{2/3}{2} = \frac{1}{3}$ より、立体Aの体積は立体Bの体積の $\frac{1}{3}$ 倍になる。

3. 最終的な答え

(1) ① $\pi r^2 h$

② 12倍

(3) $\frac{1}{3}$ 倍