2直線 $2x + 4y + 1 = 0$ と $x - 3y - 7 = 0$ のなす鋭角 $\alpha$ を、法線ベクトルを利用して求めよ。

1. 問題の内容

2直線 $2x + 4y + 1 = 0$ と $x - 3y - 7 = 0$ のなす鋭角 $\alpha$ を、法線ベクトルを利用して求めよ。

2. 解き方の手順

2直線の法線ベクトルをそれぞれ $\vec{n_1}$、$\vec{n_2}$ とする。

直線 $ax + by + c = 0$ の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ で表される。

よって、

$\vec{n_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

$\vec{n_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

2直線のなす角を $\theta$ とすると、

$$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$$

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \times 1 + 4 \times (-3) = 2 - 12 = -10$

$|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

$$\cos \theta = \frac{|-10|}{2\sqrt{5} \sqrt{10}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{10}{2 \times 5\sqrt{2}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{4}$ (または 45度)

求めるべき鋭角は $\alpha$ である。$\theta$ が鋭角なので $\alpha = \theta$ である。

したがって、$\alpha = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\alpha = \frac{\pi}{4}$ (または 45度)