問題は、円の性質、角の二等分線の性質、方べきの定理、メネラウスの定理などを用いて、線分の長さや比、面積を求める問題です。 (1) $\triangle ABC$ において、$AC = 5$, $AB = 4$のとき、$BC$の長さを求め、$BD:CD$を求める。 (2) 線分$BD$と$AD$の長さをそれぞれ求め、方べきの定理を用いて線分$DE$の長さを求める。 (3) 線分$AB$の中点を$M$とし、線分$CM$と$AE$の交点を$N$とする。メネラウスの定理を用いて$\frac{CN}{NM}$の値を求め、$\triangle BNM$の面積を求める。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

問題は、円の性質、角の二等分線の性質、方べきの定理、メネラウスの定理などを用いて、線分の長さや比、面積を求める問題です。

(1) $\triangle ABC$ において、$AC = 5$, $AB = 4$のとき、$BC$の長さを求め、$BD:CD$を求める。

(2) 線分$BD$と$AD$の長さをそれぞれ求め、方べきの定理を用いて線分$DE$の長さを求める。

(3) 線分$AB$の中点を$M$とし、線分$CM$と$AE$の交点を$N$とする。メネラウスの定理を用いて$\frac{CN}{NM}$の値を求め、$\triangle BNM$の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $\triangle ABC$は、$AC$を直径とする円に内接しているので、$\angle ABC = 90^\circ$です。したがって、$\triangle ABC$は直角三角形なので、三平方の定理より、$BC^2 = AC^2 - AB^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$となり、$BC = 3$です。したがって、$ア$は$2$。

* $AD$は$\angle BAC$の二等分線なので、角の二等分線の定理より、$BD:CD = AB:AC = 4:5$です。したがって、$イ$は$4$。

(2)

* $BD:CD = 4:5$ であり、$BC = 3$ なので、$BD = \frac{4}{4+5}BC = \frac{4}{9} \times 3 = \frac{4}{3}$ です。

* $\triangle ABD$において、$\angle BAD = \angle CAD$。$\triangle ABC$において、余弦定理より、$cos\angle BAC = \frac{4}{5}$.

$AD$は$\angle BAC$の二等分線なので、$\angle BAD = \frac{\angle BAC}{2}$. $cos\angle BAD = cos(\frac{\angle BAC}{2})$

半角の公式より、$cos^2(\frac{\angle BAC}{2}) = \frac{1+cos\angle BAC}{2}=\frac{1+4/5}{2}=\frac{9}{10}$. $cos\angle BAD = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

$\triangle ABD$において、余弦定理より、$BD^2 = AB^2+AD^2 - 2AB\cdot AD cos \angle BAD$.

$(\frac{4}{3})^2=4^2+AD^2 - 2\cdot 4 \cdot AD \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}$

解くのは大変なので、$\triangle ABD$において正弦定理より、$\frac{BD}{sin\angle BAD}=\frac{AB}{sin\angle ADB}$. また、$\angle ADB=180^\circ - \angle ABD - \angle BAD$.

* $\triangle ABC$と$\triangle ADE$は相似。(円周角の定理より、$\angle ACB = \angle AEB$、$\angle BAC = \angle BDC$）

ここで、$AD \times AE = AB \times AC = 4\times 5 = 20$です。

方べきの定理より、$BD \times DC = AD \times DE$. $DC = BC-BD = 3-\frac{4}{3} = \frac{5}{3}$.

$\frac{4}{3} \times \frac{5}{3} = AD \times DE$.

まず$AD$を求める。$\triangle ABD$に余弦定理を用いる。

$AD^2=AB^2+BD^2-2AB \cdot BD cosB$.

$\angle B = 90^\circ$なので、$AD^2 = AB^2+BD^2=4^2+(\frac{4}{3})^2=16+\frac{16}{9}=\frac{144+16}{9}=\frac{160}{9}$.

$AD = \sqrt{\frac{160}{9}}=\frac{4\sqrt{10}}{3}$.

よって、$\frac{4}{3}\times \frac{5}{3} = \frac{4\sqrt{10}}{3} \times DE$.

$DE=\frac{5}{3\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{30}=\frac{\sqrt{10}}{6}$

(3)

3. 最終的な答え

(1) ア：2, イ：4

(2) $BD = \frac{4}{3}$, $AD = \frac{4\sqrt{10}}{3}$, $DE = \frac{\sqrt{10}}{6}$

(3) (計算中)