ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow |\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ を示す。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow |\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ を示す。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ を仮定して、$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ を示す。次に、$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ を仮定して、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ を示す。

$(\Rightarrow)$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ を仮定する。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ より、

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$

したがって、$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$ であり、$|\vec{a} + \vec{b}| \ge 0$, $|\vec{a} - \vec{b}| \ge 0$ であるから、$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ が成り立つ。

$(\Leftarrow)$ $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ を仮定する。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$ より、

$|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$4\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow |\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$