図に示された三角形について、指定された角度 $x$ と $y$ の値を求める問題です。 (1) 点Oは三角形ABCの外心です。 (2) 点Iは三角形ABCの内心です。

1. 問題の内容

図に示された三角形について、指定された角度 $x$ と $y$ の値を求める問題です。

(1) 点Oは三角形ABCの外心です。

(2) 点Iは三角形ABCの内心です。

2. 解き方の手順

(1) 外心の場合：

外心は三角形の外接円の中心であり、外心から三角形の各頂点までの距離は等しいです。

したがって、三角形OBCは二等辺三角形であり、OB = OC です。

よって、$\angle OBC = \angle OCB = 23^\circ$です。

同様に、三角形OACも二等辺三角形であり、OA = OC です。

よって、$\angle OAC = \angle OCA = 34^\circ$です。

$\angle BOC = x$ を求めるには、三角形OBCにおいて

$x = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (23^\circ + 23^\circ) = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$

$\angle BAC = y$ を求めるには、三角形ABCにおいて、

$y = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (23^\circ + \angle ABO + 34^\circ + \angle ACO)$

ここで、$y = \angle BAO + \angle CAO$ であることから、

$\angle BAO = \angle ABO$、$\angle CAO = \angle ACO$

$\angle BAC = \angle BAO + \angle CAO = \angle ABO + \angle ACO$

また、$\angle ABC = \angle ABO + 23^\circ$、$\angle ACB = \angle ACO + 34^\circ$ であるので、

$23^\circ + \angle ABO + 34^\circ + \angle ACO + \angle BAC = 180^\circ$

$57^\circ + \angle BAC + \angle BAC = 180^\circ$

$2\angle BAC = 180^\circ - 57^\circ$

$2y = 123^\circ$

$y = 61.5^\circ$

ここで別解として、外心の性質として $\angle BOC = 2 \angle BAC$ が成り立つため、$x = 2y$ となります。

したがって、$134 = 2y$より$y = 67^\circ$。

(2) 内心の場合：

内心は三角形の内接円の中心であり、内心から三角形の各辺までの距離は等しいです。また、内心は各角の二等分線の交点です。

したがって、$\angle ABI = \angle CBI = 26^\circ$です。

$\angle ACI = x$ とすると、$\angle ACI = \angle BCI = x$ となります。

また、$\angle BAI = \angle CAI = 80^\circ / 2 = 40^\circ$です。

三角形ABCの内角の和は$180^\circ$であるので、

$80^\circ + 26^\circ \times 2 + 2x = 180^\circ$

$80^\circ + 52^\circ + 2x = 180^\circ$

$132^\circ + 2x = 180^\circ$

$2x = 48^\circ$

$x = 24^\circ$

三角形IBCの内角の和は$180^\circ$であるので、

$y + 26^\circ + x = 180^\circ$

$y = 180^\circ - 26^\circ - x$

$y = 180^\circ - 26^\circ - 24^\circ$

$y = 130^\circ$

3. 最終的な答え

(1) 外心の場合：

$x = 134^\circ$

$y = 67^\circ$

(2) 内心の場合：

$x = 24^\circ$

$y = 130^\circ$