直角三角形ABCにおいて、$\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $BC = 1$ である。辺AB上に $\angle CDB = 45^\circ$ となるように点Dを取る。また、直線ABと点Aで接し、点Cを通る円と直線CDの交点をEとする。 (1) 線分ADの長さを求めよ。また、$\angle DAE$ の大きさを求めよ。 (2) 線分AEの長さを求めよ。 (3) 弦ACに関して、点Eと反対側の弧上に点Pを取るとき、三角形ACPの面積の最大値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $BC = 1$ である。辺AB上に $\angle CDB = 45^\circ$ となるように点Dを取る。また、直線ABと点Aで接し、点Cを通る円と直線CDの交点をEとする。

(1) 線分ADの長さを求めよ。また、$\angle DAE$ の大きさを求めよ。

(2) 線分AEの長さを求めよ。

(3) 弦ACに関して、点Eと反対側の弧上に点Pを取るとき、三角形ACPの面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分ADの長さを求める。

三角形BCDにおいて、$\angle B = 90^\circ$, $\angle CDB = 45^\circ$ であるから、$\angle BCD = 45^\circ$ となる。したがって、三角形BCDは直角二等辺三角形である。よって、$BD = BC = 1$ である。

三角形ABCにおいて、$\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 90^\circ$ であるから、$AB = BC/\tan(30^\circ) = 1/(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \sqrt{3}$ である。

したがって、$AD = AB - BD = \sqrt{3} - 1$ である。

$\angle DAE$ の大きさを求める。

円と直線ABは点Aで接するので、接弦定理より $\angle DAE = \angle ACD$ である。

$\angle ACB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ であるから、$\angle ACD = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$ である。よって、$\angle DAE = 15^\circ$ である。

(2) 線分AEの長さを求める。

円と直線ABは点Aで接するので、方べきの定理より $AD^2 = DE \cdot DC$ が成り立つ。

$DC = \sqrt{2}BC = \sqrt{2}$ である。

$AD = \sqrt{3} - 1$ であるから、$(\sqrt{3} - 1)^2 = DE \cdot \sqrt{2}$ となる。

$DE = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{\sqrt{2}} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} - \sqrt{6}$ である。

$AE = AD + DE = (\sqrt{3} - 1) + (2\sqrt{2} - \sqrt{6}) = \sqrt{3} - 1 + 2\sqrt{2} - \sqrt{6} = 2\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6} - 1$

(3) 三角形ACPの面積の最大値を求める。

三角形ACPの面積が最大となるのは、点Pが弦ACの中点を通り、ACに垂直な直線と円との交点となるときである。このとき、三角形ACPの面積は、底辺をACとしたとき、高さが最大となる。

$AC = \frac{BC}{\sin(30^\circ)} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

$\angle AOC = 2\angle ABC = 120^\circ$

円の半径は，$R = \frac{AC}{2\sin \angle ABC} = \frac{2}{2\sin 90^\circ} = 1$

三角形ABCの面積 = $\frac{1}{2}AB \times BC = \frac{1}{2}\sqrt{3} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

点Pが円周上にあることから、三角形ACPの面積の最大値を求めるためには、点Pから直線ACまでの距離を最大にする必要がある。これは点Pが円の中心からACに下ろした垂線上の円周上の点である場合である。

面積 = (1/2) * AC * 高さ

高さ = R + d

dは円の中心から弦ACまでの距離

d = sqrt(R^2 - (AC/2)^2) = sqrt(1-1) = 0

高さ = 1 + 0 = 1

面積 = (1/2) * 2 * 1 = 1

3. 最終的な答え

(1) $AD = \sqrt{3} - 1$, $\angle DAE = 15^\circ$

(2) $AE = 2\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6} - 1$

(3) 1