三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=3$, $AC=4$である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとする。線分BDの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=3$, $AC=4$である。角Aの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をDとする。線分BDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

角Aの外角の二等分線が辺BCの延長と交わる点をDとするとき、外角の二等分線の性質により、以下の関係が成り立つ。

$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$

ここで、$BC = 3$なので、$CD = BD + BC = BD + 3$である。

したがって、

$\frac{BD}{BD+3} = \frac{5}{4}$

この方程式を解く。

$4 \cdot BD = 5(BD + 3)$

$4 \cdot BD = 5 \cdot BD + 15$

$5 \cdot BD - 4 \cdot BD = -15$

$BD = -15$

しかし、$BD$の長さは正なので、どこかで計算間違いがある。

正しくは以下の通り。

$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$

$\frac{BD}{BD+BC} = \frac{AB}{AC}$

$\frac{BD}{BD+3} = \frac{5}{4}$

$4BD = 5(BD+3)$

$4BD = 5BD + 15$

$-15 = BD$

これもおかしい。

外角の二等分線の定理を正しく適用すると、

$\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}$

$\frac{BD}{5} = \frac{BD+3}{4}$

$4BD = 5(BD+3)$

$4BD = 5BD+15$

$-BD = 15$

$BD = -15$

$AD$が$\angle A$の外角の二等分線であるとき、

$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$

なので、

$\frac{BD}{CD} = \frac{5}{4}$

ここで、$CD = BD - BC = BD - 3$である。

したがって、

$\frac{BD}{BD-3} = \frac{5}{4}$

$4 \cdot BD = 5(BD - 3)$

$4 \cdot BD = 5 \cdot BD - 15$

$BD = 15$

3. 最終的な答え

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