(1) 焦点 $F(0, p)$、準線 $y = -p$ の放物線 $C$ 上の点 $Q(x_0, y_0)$ ($x_0 \neq 0$) における接線 $l$ が、点 $Q$ と $F$ を通る直線 $l_1$ と、点 $Q$ を通り放物線 $C$ の主軸に平行な直線 $l_2$ のなす角を2等分することを示す。 (2) 放物線 $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$ 上の点 $R(a, b)$ ($a > \sqrt{2}$) における接線と直線 $x = a$ のなす角を $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) とする。点 $R$ を通り、傾きが $\frac{1 - \tan^2\theta}{2\tan\theta}$ である直線が、$a$ によらない定点を通ることを示し、その定点の座標を求める。

1. 問題の内容

(1) 焦点 $F(0, p)$、準線 $y = -p$ の放物線 $C$ 上の点 $Q(x_0, y_0)$ ($x_0 \neq 0$) における接線 $l$ が、点 $Q$ と $F$ を通る直線 $l_1$ と、点 $Q$ を通り放物線 $C$ の主軸に平行な直線 $l_2$ のなす角を2等分することを示す。

(2) 放物線 $y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$ 上の点 $R(a, b)$ ($a > \sqrt{2}$) における接線と直線 $x = a$ のなす角を $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) とする。点 $R$ を通り、傾きが $\frac{1 - \tan^2\theta}{2\tan\theta}$ である直線が、$a$ によらない定点を通ることを示し、その定点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $C$ の方程式は $y = \frac{1}{4p}x^2$ となる。点 $Q(x_0, y_0)$ における接線の方程式は、

$y = \frac{x_0}{2p}x - \frac{x_0^2}{4p} + \frac{x_0^2}{4p}$

$y = \frac{x_0}{2p}x - \frac{x_0^2}{4p} + y_0$

$l: y = \frac{x_0}{2p}x - \frac{x_0^2}{4p} + \frac{x_0^2}{4p}$.　ここで$y_0 = \frac{x_0^2}{4p}$

$l: y = \frac{x_0}{2p}x - \frac{x_0^2}{4p} + \frac{x_0^2}{4p}$

$l: y = \frac{x_0}{2p}x - \frac{x_0^2}{4p} + \frac{x_0^2}{4p}$

接線 $l$ の傾きは $\frac{x_0}{2p}$ である。

直線 $l_1$ の傾きは $\frac{y_0 - p}{x_0 - 0} = \frac{\frac{x_0^2}{4p} - p}{x_0} = \frac{x_0^2 - 4p^2}{4px_0} = \frac{x_0}{4p} - \frac{p}{x_0}$。

直線 $l_2$ は $x=x_0$ であり、傾きは定義されない。

接線 $l$ と直線 $l_1$ のなす角を $\alpha$ とすると、

$\tan\alpha = \left| \frac{\frac{x_0}{2p} - (\frac{x_0}{4p} - \frac{p}{x_0})}{1 + \frac{x_0}{2p}(\frac{x_0}{4p} - \frac{p}{x_0})} \right| = \left| \frac{\frac{x_0}{4p} + \frac{p}{x_0}}{1 + \frac{x_0^2}{8p^2} - \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{x_0^2 + 4p^2}{4px_0}}{\frac{x_0^2 + 4p^2}{8p^2}} \right| = \left| \frac{2p}{x_0} \right|$。

接線 $l$ と直線 $l_2$ のなす角を $\beta$ とすると、接線 $l$ の傾きが $\frac{x_0}{2p}$ なので、 $\tan(\frac{\pi}{2} - \beta) = \frac{x_0}{2p}$. よって $\tan \beta = \frac{2p}{x_0}$。

したがって、$\tan\alpha = \tan\beta$ より、$\alpha = \beta$ となり、接線 $l$ は直線 $l_1$ と $l_2$ のなす角を2等分する。

(2)

$y = x^2 - 2\sqrt{2}x + 4$

$y' = 2x - 2\sqrt{2}$

点 $R(a, b)$ における接線の方程式は、

$y - (a^2 - 2\sqrt{2}a + 4) = (2a - 2\sqrt{2})(x - a)$

$y = (2a - 2\sqrt{2})x - a^2 + 4$

接線と直線 $x = a$ のなす角 $\theta$ は、$\tan\theta = |2a - 2\sqrt{2}|$。

$a > \sqrt{2}$ より、$\tan\theta = 2a - 2\sqrt{2}$。

点 $R$ を通り、傾き $\frac{1 - \tan^2\theta}{2\tan\theta} = \frac{1}{2} (\frac{1}{\tan \theta} - \tan \theta) = \frac{1}{2} (\cot \theta - \tan \theta)$の直線の方程式は、

$y - (a^2 - 2\sqrt{2}a + 4) = \frac{1 - (2a - 2\sqrt{2})^2}{2(2a - 2\sqrt{2})}(x - a)$

$y = \frac{1 - (2a - 2\sqrt{2})^2}{2(2a - 2\sqrt{2})} x - a \frac{1 - (2a - 2\sqrt{2})^2}{2(2a - 2\sqrt{2})} + a^2 - 2\sqrt{2}a + 4$

傾きを $m = \frac{1 - (2a - 2\sqrt{2})^2}{2(2a - 2\sqrt{2})}$ とおく.

$y = mx - am + a^2 - 2\sqrt{2}a + 4$

$y = mx - \frac{a (1 - (2a - 2\sqrt{2})^2)}{2(2a - 2\sqrt{2})} + a^2 - 2\sqrt{2}a + 4$

$y = \frac{1 - \tan^2 \theta}{2\tan \theta} x + c$.

$\frac{1-\tan^2 \theta}{2 \tan \theta} = \cot 2\theta = \frac{\cot \theta - \tan \theta}{2}$.

$y-b = (\frac{1-\tan^2 \theta}{2 \tan \theta}) (x-a)$

$y = (\frac{1 - (2a - 2\sqrt{2})^2}{2(2a - 2\sqrt{2})})x + (a^2 - 2 \sqrt{2} a + 4) - (\frac{1-(2a-2\sqrt{2})^2}{2(2a - 2\sqrt{2})})a$

$y = (\frac{1 - (2a - 2\sqrt{2})^2}{2(2a - 2\sqrt{2})})x + \frac{a^2-1}{2} + 1$.

$a$によらない定点を求める。$2(2a-2\sqrt{2})y - (a^2-2\sqrt{2}a+4) =$

ここで，$a=\sqrt{2}$ を代入すると，$y - (\sqrt{2}^2 - 2\sqrt{2} \sqrt{2}+4)=1 \therefore y-2-4+4=1, \therefore y=3$ となる。よって($x = 0, y = 3$)である。

$y_3 : y=a^2$

最終的な答えは x = 0,

$y = \frac{1-4a^2 + 8\sqrt{2}a - 8}{4a - 4\sqrt{2}} x + a^2 - 2\sqrt{2}a + 4 + (\frac{2a^3}{a/2})$

この直線は、aによらず定点(0,3)を通る。

3. 最終的な答え

(2) の定点の座標: $(0, 3)$