$\triangle ABC$において、$AB = 8$, $AC = 2\sqrt{7}$, $\angle C = 90^\circ$である。 (1) $BC$の長さを求め、$\sin B$を$\frac{BC}{AB}, \frac{AB}{BC}, \frac{AC}{AB}, \frac{AB}{AC}$の中から選べ。 (2) $\cos B$の値を求めよ。また、辺$AB$上に$BD = 1$となるような点$D$をとるとき、線分$CD$の長さを求めよ。 (3) (2)のとき、$\triangle BCD$の外接円の半径$R$を求めよ。さらに、この外接円の中心を$E$とするとき、$\triangle CDE$の面積を求めよ。

## 回答

1. **問題の内容**

$\triangle ABC$において、$AB = 8$, $AC = 2\sqrt{7}$, $\angle C = 90^\circ$である。

(1) $BC$の長さを求め、$\sin B$を$\frac{BC}{AB}, \frac{AB}{BC}, \frac{AC}{AB}, \frac{AB}{AC}$の中から選べ。

(2) $\cos B$の値を求めよ。また、辺$AB$上に$BD = 1$となるような点$D$をとるとき、線分$CD$の長さを求めよ。

(3) (2)のとき、$\triangle BCD$の外接円の半径$R$を求めよ。さらに、この外接円の中心を$E$とするとき、$\triangle CDE$の面積を求めよ。

2. **解き方の手順**

(1)

まず、$BC$の長さを求める。$\triangle ABC$は直角三角形なので、三平方の定理より、

$BC^2 + AC^2 = AB^2$

$BC^2 + (2\sqrt{7})^2 = 8^2$

$BC^2 + 28 = 64$

$BC^2 = 36$

$BC = 6$

したがって、$BC = 6$である。

次に、$\sin B$を求める。$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{7}}{8} = \frac{\sqrt{7}}{4}$である。選択肢から$\frac{AC}{AB}$を選ぶ。

(2)

$\cos B$を求める。$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$BD = 1$なので、$AD = AB - BD = 8 - 1 = 7$である。$\triangle BCD$において、$BC = 6$, $BD = 1$, $\angle B = 90^\circ$である。

$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos B$

ではない。

$\triangle BCD$で余弦定理を用いると、

$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 BC \cdot BD \cos B$

ではない。

$\triangle BCD$において、余弦定理は使えない。

$\triangle ABC$において、$BC=6$, $AC = 2\sqrt{7}$, $AB=8$, $\angle C = 90^\circ$である。

$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

$\triangle BCD$において、$BC=6, BD=1$である。

$\triangle CDB$において、$CD^2 = BC^2 + BD^2 = 6^2 + 1^2 = 36 + 1 = 37$.

$CD = \sqrt{37}$

(3)

$\triangle BCD$の外接円の半径$R$を求める。正弦定理より、

$\frac{CD}{\sin \angle CBD} = 2R$

$\sin \angle CBD = \frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{7}}{8} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\frac{\sqrt{37}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = 2R$

$2R = \frac{4\sqrt{37}}{\sqrt{7}}$

$R = \frac{2\sqrt{37}}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{259}}{7}$

外接円の中心を$E$とするとき、$\triangle CDE$の面積を求める。

$\angle CDE = \angle CED = \angle DCE = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$

$\triangle CDE$は二等辺三角形であり、$CE = DE = R = \frac{2\sqrt{259}}{7}$である。

$\triangle CDE = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot DE \cdot \sin \angle CED = \frac{1}{2} (\frac{2\sqrt{259}}{7})^2 \sin 45^\circ$

$=\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 259}{49} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \cdot 259 \sqrt{2}}{49 \cdot 2} = \frac{259\sqrt{2}}{49}$

3. **最終的な答え**

(1) $BC=6$ (選択肢2), $\sin B=\frac{AC}{AB}$ (選択肢3)

(2) $\cos B = \frac{3}{4}$, $CD = \sqrt{37}$

(3) $R = \frac{2\sqrt{259}}{7}$, $\triangle CDE = \frac{259 \sqrt{2}}{49}$