三角形ABCにおいて、AC=1cm、∠C=60°、∠A=75°、∠B=45°であるとき、辺ABの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AC=1cm、∠C=60°、∠A=75°、∠B=45°であるとき、辺ABの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて、ABの長さを求める。

まず、正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

である。

問題文より、$AC=1$, $B=45^\circ$, $C=60^\circ$であるから、

$\frac{1}{\sin 45^\circ} = \frac{AB}{\sin 60^\circ}$

$AB = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって

$AB = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$AB = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$AB = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$

$AB = \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6}}{2}$ cm