三角形ABCがあり、点A, B, Cの位置ベクトルはそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$である。辺BC, CA, ABを2:1に内分する点をそれぞれD, E, Fとする。点D, E, Fの位置ベクトル$\vec{d}$, $\vec{e}$, $\vec{f}$をそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表す。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、点A, B, Cの位置ベクトルはそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$である。辺BC, CA, ABを2:1に内分する点をそれぞれD, E, Fとする。点D, E, Fの位置ベクトル$\vec{d}$, $\vec{e}$, $\vec{f}$をそれぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

内分点の公式を用いる。線分PQをm:nに内分する点をRとすると、Rの位置ベクトル$\vec{r}$は、

$\vec{r} = \frac{n\vec{p} + m\vec{q}}{m+n}$

で表される。

(1)点Dは辺BCを2:1に内分するので、

$\vec{d} = \frac{1\vec{b} + 2\vec{c}}{2+1} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$

(2)点Eは辺CAを2:1に内分するので、

$\vec{e} = \frac{1\vec{c} + 2\vec{a}}{2+1} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3}$

(3)点Fは辺ABを2:1に内分するので、

$\vec{f} = \frac{1\vec{a} + 2\vec{b}}{2+1} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3}$

3. 最終的な答え

$\vec{d} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$

$\vec{e} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3}$

$\vec{f} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3}$