2点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$) に対して、線分ABを4:3に内分する点Pと外分する点Qの位置ベクトル $\vec{p}$, $\vec{q}$をそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

2点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$) に対して、線分ABを4:3に内分する点Pと外分する点Qの位置ベクトル $\vec{p}$, $\vec{q}$をそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

内分点の位置ベクトルは、内分比を $m:n$ とすると、次の公式で表されます。

$\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$

外分点の位置ベクトルは、外分比を $m:n$ とすると、次の公式で表されます。

$\vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n}$

(1) 内分点Pの場合:

$m = 4$, $n = 3$ なので、

$\vec{p} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{b}}{4+3}$

$\vec{p} = \frac{3\vec{a} + 4\vec{b}}{7}$

(2) 外分点Qの場合:

$m = 4$, $n = 3$ なので、

$\vec{q} = \frac{-3\vec{a} + 4\vec{b}}{4-3}$

$\vec{q} = \frac{-3\vec{a} + 4\vec{b}}{1}$

$\vec{q} = -3\vec{a} + 4\vec{b}$

3. 最終的な答え

内分点Pの位置ベクトル: $\vec{p} = \frac{3}{7}\vec{a} + \frac{4}{7}\vec{b}$

外分点Qの位置ベクトル: $\vec{q} = -3\vec{a} + 4\vec{b}$