複素数平面上の3点 $0$, $\alpha$, $\beta$ を頂点とする三角形が正三角形であるとき、$\beta$ の値を求めよ。ただし、$\alpha = 2+2i$ である。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点 $0$, $\alpha$, $\beta$ を頂点とする三角形が正三角形であるとき、$\beta$ の値を求めよ。ただし、$\alpha = 2+2i$ である。

2. 解き方の手順

正三角形の条件より、以下の関係が成り立つ。

$\alpha = \beta e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$

ここで、$e^{\pm i\frac{\pi}{3}} = \cos(\pm \frac{\pi}{3}) + i \sin(\pm \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

したがって、$\beta$ は以下の2つの値を取りうる。

$\beta = \alpha e^{\mp i\frac{\pi}{3}} = (2+2i) (\frac{1}{2} \mp i \frac{\sqrt{3}}{2}) = (1 \pm \sqrt{3}) + i(1 \mp \sqrt{3})$

つまり、

$\beta_1 = (2+2i) (\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = (1+\sqrt{3}) + i(1-\sqrt{3})$

$\beta_2 = (2+2i) (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = (1-\sqrt{3}) + i(1+\sqrt{3})$

3. 最終的な答え

$\beta = (1+\sqrt{3}) + (1-\sqrt{3})i$ または $\beta = (1-\sqrt{3}) + (1+\sqrt{3})i$