$p$ を正の定数とし、点 $F(0, p)$ を焦点、直線 $y = -p$ を準線とする放物線を $C$ とする。 $C$ 上の点 $Q(x_0, y_0)$ ($x_0 \neq 0$) を考える。点 $Q$ と $F$ を通る直線を $l_1$ 、点 $Q$ を通り放物線 $C$ の軸に平行な直線を $l_2$ とする。このとき、点 $Q$ における $C$ の接線 $l$ は $l_1$ と $l_2$ のなす角を二等分することを示せ。

1. 問題の内容

$p$ を正の定数とし、点 $F(0, p)$ を焦点、直線 $y = -p$ を準線とする放物線を $C$ とする。

$C$ 上の点 $Q(x_0, y_0)$ ($x_0 \neq 0$) を考える。点 $Q$ と $F$ を通る直線を $l_1$ 、点 $Q$ を通り放物線 $C$ の軸に平行な直線を $l_2$ とする。このとき、点 $Q$ における $C$ の接線 $l$ は $l_1$ と $l_2$ のなす角を二等分することを示せ。

2. 解き方の手順

放物線 $C$ の方程式は、焦点からの距離と準線からの距離が等しいことから、

$\sqrt{x^2 + (y-p)^2} = |y+p|$

両辺を2乗して整理すると、

$x^2 + y^2 - 2py + p^2 = y^2 + 2py + p^2$

$x^2 = 4py$

したがって、放物線 $C$ の方程式は

$y = \frac{1}{4p} x^2$

点 $Q(x_0, y_0)$ は $C$ 上の点であるから、

$y_0 = \frac{1}{4p} x_0^2$

$C$ の方程式を $y = f(x) = \frac{1}{4p} x^2$ とすると、$f'(x) = \frac{1}{2p} x$

点 $Q$ における $C$ の接線 $l$ の傾きは $f'(x_0) = \frac{x_0}{2p}$

したがって、接線 $l$ の方程式は

$y - y_0 = \frac{x_0}{2p} (x - x_0)$

$y = \frac{x_0}{2p} x - \frac{x_0^2}{2p} + y_0$

$y = \frac{x_0}{2p} x - \frac{x_0^2}{2p} + \frac{x_0^2}{4p}$

$y = \frac{x_0}{2p} x - \frac{x_0^2}{4p}$

直線 $l_2$ は点 $Q$ を通り放物線 $C$ の軸（y軸）に平行な直線なので、$x = x_0$

$l_2$ と $l$ のなす角を $\theta_1$ とすると、

$\tan \theta_1 = \left| \frac{\frac{x_0}{2p} - \infty}{1 + \frac{x_0}{2p} \cdot \infty} \right| = \left| \frac{1}{\frac{x_0}{2p}} \right|= \frac{2p}{x_0}$

直線 $l_1$ は点 $Q(x_0, y_0)$ と点 $F(0, p)$ を通る直線なので、傾きは $\frac{y_0 - p}{x_0 - 0} = \frac{y_0 - p}{x_0} = \frac{\frac{x_0^2}{4p} - p}{x_0} = \frac{x_0^2 - 4p^2}{4px_0} = \frac{(x_0 - 2p)(x_0 + 2p)}{4px_0}$

$l_1$ と $l$ のなす角を $\theta_2$ とすると、

$\tan \theta_2 = \left| \frac{\frac{x_0}{2p} - \frac{x_0^2 - 4p^2}{4px_0}}{1 + \frac{x_0}{2p} \cdot \frac{x_0^2 - 4p^2}{4px_0}} \right| = \left| \frac{4px_0^2 - 2px_0^2 + 8p^3}{8p^2x_0 + x_0^3 - 4px_0} \right| = \left| \frac{2px_0^2 + 8p^3}{x_0^3 + 4p^2x_0} \right| = \left| \frac{2p(x_0^2 + 4p^2)}{x_0(x_0^2 + 4p^2)} \right| = \left| \frac{2p}{x_0} \right|$

$\tan \theta_1 = \tan \theta_2$ なので、$\theta_1 = \theta_2$

よって、接線 $l$ は $l_1$ と $l_2$ のなす角を二等分する。

3. 最終的な答え

点QにおけるCの接線lは、l1とl2のなす角を二等分する。