(3) $\tan{\theta} = -2$ のとき、$\sin{\theta}$と$\cos{\theta}$の値を求める問題。 (4) $\cos{115^\circ}$ を $45^\circ$ より小さい角の三角比で表す問題。

1. 問題の内容

(3) $\tan{\theta} = -2$ のとき、$\sin{\theta}$と$\cos{\theta}$の値を求める問題。

(4) $\cos{115^\circ}$ を $45^\circ$ より小さい角の三角比で表す問題。

2. 解き方の手順

(3)

$\tan{\theta} = -2$ より、$\theta$ は第2象限または第4象限の角である。

$\tan^2{\theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$ を用いると、

$(-2)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$

$5 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$

$\cos^2{\theta} = \frac{1}{5}$

$\cos{\theta} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}}$

$\cos{\theta} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

また、$1 + \cot^2{\theta} = \frac{1}{\sin^2{\theta}}$ を用いると、$\cot{\theta} = \frac{1}{\tan{\theta}} = -\frac{1}{2}$ より、

$1 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2{\theta}}$

$1 + \frac{1}{4} = \frac{1}{\sin^2{\theta}}$

$\frac{5}{4} = \frac{1}{\sin^2{\theta}}$

$\sin^2{\theta} = \frac{4}{5}$

$\sin{\theta} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\sin{\theta} = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ であるので、$\tan{\theta} = -2 < 0$ より、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ は異符号である。

i) $\theta$ が第2象限の角のとき: $\sin{\theta} > 0$ かつ $\cos{\theta} < 0$ なので、

$\sin{\theta} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ かつ $\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

ii) $\theta$ が第4象限の角のとき: $\sin{\theta} < 0$ かつ $\cos{\theta} > 0$ なので、

$\sin{\theta} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ かつ $\cos{\theta} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

問題文に沿って考えると、$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{4}}$ と $\cos \theta = \frac{5|6}{\sqrt{7}}$ は、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の符号を考慮する必要がある。

まず、$\sin \theta = \frac{2 \sqrt{5}}{5} = \frac{2}{\sqrt{5}}$、$\cos \theta = - \frac{\sqrt{5}}{5} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ とする。

このとき、$\sin \theta = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ は $\frac{2 \sqrt{5}}{5} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ である。$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ は無理数なので $\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{4}}$ とは一致しない。

問題文の形式からすると、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の絶対値を求めて、符号は別途決定する必要がある。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = \frac{4}{5}, \cos^2 \theta = \frac{1}{5}$ となる。

問題文の形式から、$\sin{\theta} = \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{\sqrt{5}}$, $\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{5}}{5}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin{\theta} = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\cos{\theta} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin{\theta} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$, $\cos{\theta} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

(4)

$\cos{115^\circ} = \cos{(180^\circ - 65^\circ)} = -\cos{65^\circ} = -\sin{(90^\circ - 65^\circ)} = -\sin{25^\circ}$

3. 最終的な答え

(3) $\sin{\theta} = \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2}{\sqrt{5}}, \cos{\theta} = -\frac{\sqrt{5}}{5} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

より、

$\sin{\theta} = \frac{2}{\sqrt{5}}, \cos{\theta} = \frac{-1}{\sqrt{5}}$ であるから、$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ そして $\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{5}}$。

$\sin \theta$ については、$2 \sqrt{5} / 5$ であるから$\frac{2}{\sqrt{5}}$となり、$\cos \theta$については $-\sqrt{5}/5$であるから $-\frac{1}{\sqrt{5}}$となる。

よって、$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.

(4) $\cos{115^\circ} = -\sin{25^\circ}$

より、$-\sin{25^\circ}$

問題文に答えると、

sinθ = -2/√5 , cosθ= 1/√5

cos 115 = -sin 25

(3) sinθ= -2/√5 , cosθ= 1/√5

sinθ=2/√5 , cosθ=-1/√5

正答:

(3) sinθ=2/√5 , cosθ=-1/√5

$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\cos \theta = - \frac{1}{\sqrt{5}}$

(4) cos 115 = -sin 25

$\cos 115^{\circ} = -\sin 25^{\circ}$

最終的な答え：

(3)

$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

(4)

$-\sin{25^\circ}$