円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=6$, $BC=3$, $CD=6$, $\angle B = 120^\circ$のとき、$AC$, $AD$, 円の半径$R$, $\triangle ACD$の内接円の半径$r$を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=6$, $BC=3$, $CD=6$, $\angle B = 120^\circ$のとき、$AC$, $AD$, 円の半径$R$, $\triangle ACD$の内接円の半径$r$を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $AC$を求める。

$\triangle ABC$において、余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos B$

$AC^2 = 6^2 + 3^2 - 2(6)(3)\cos 120^\circ$

$AC^2 = 36 + 9 - 36(-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 45 + 18 = 63$

$AC = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$

(2) $AD$を求める。

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

$\triangle ACD$において、余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2(AD)(CD)\cos D$

$63 = AD^2 + 6^2 - 2(AD)(6)\cos 60^\circ$

$63 = AD^2 + 36 - 12AD(\frac{1}{2})$

$63 = AD^2 + 36 - 6AD$

$AD^2 - 6AD - 27 = 0$

$(AD-9)(AD+3) = 0$

$AD>0$より、$AD = 9$

(3) 円の半径$R$を求める。

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin B} = 2R$

$2R = \frac{3\sqrt{7}}{\sin 120^\circ} = \frac{3\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{21}}{3} = 2\sqrt{7}$

$R = \sqrt{7}$

(4) $\triangle ACD$の内接円の半径$r$を求める。

$\triangle ACD$において、$AC = 3\sqrt{7}$, $CD = 6$, $AD = 9$

$s = \frac{AC+CD+AD}{2} = \frac{3\sqrt{7}+6+9}{2} = \frac{15+3\sqrt{7}}{2}$

面積$S$をヘロンの公式で求める。

$S = \sqrt{s(s-AC)(s-CD)(s-AD)}$

$s-AC = \frac{15+3\sqrt{7}}{2} - 3\sqrt{7} = \frac{15-3\sqrt{7}}{2}$

$s-CD = \frac{15+3\sqrt{7}}{2} - 6 = \frac{3+3\sqrt{7}}{2}$

$s-AD = \frac{15+3\sqrt{7}}{2} - 9 = \frac{-3+3\sqrt{7}}{2}$

$S = \sqrt{\frac{15+3\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{15-3\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{3+3\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{-3+3\sqrt{7}}{2}}$

$S = \sqrt{\frac{(225-63)(63-9)}{16}} = \sqrt{\frac{162 \cdot 54}{16}} = \sqrt{\frac{8748}{16}} = \sqrt{\frac{2187}{4}} = \frac{27\sqrt{3}}{2}$

$S = rs$

$r = \frac{S}{s} = \frac{\frac{27\sqrt{3}}{2}}{\frac{15+3\sqrt{7}}{2}} = \frac{27\sqrt{3}}{15+3\sqrt{7}} = \frac{9\sqrt{3}}{5+\sqrt{7}} = \frac{9\sqrt{3}(5-\sqrt{7})}{(5+\sqrt{7})(5-\sqrt{7})} = \frac{9\sqrt{3}(5-\sqrt{7})}{25-7} = \frac{9\sqrt{3}(5-\sqrt{7})}{18} = \frac{\sqrt{3}(5-\sqrt{7})}{2} = \frac{5\sqrt{3}-\sqrt{21}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = 3\sqrt{7}$

(2) $AD = 9$

(3) $R = \sqrt{7}$

(4) $r = \frac{5\sqrt{3}-\sqrt{21}}{2}$