三角形ABCにおいて、$AB = 4, BC = 5, CA = 6$である。$\angle BAC$の二等分線と辺$BC$との交点を$D$、$\angle BAC$の外角の二等分線と辺$BC$の延長との交点を$E$とする。このとき、$BE$と$DE$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 4, BC = 5, CA = 6$である。$\angle BAC$の二等分線と辺$BC$との交点を$D$、$\angle BAC$の外角の二等分線と辺$BC$の延長との交点を$E$とする。このとき、$BE$と$DE$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$BD$の長さを求める。角の二等分線の性質より、$AB : AC = BD : DC$である。

$AB = 4, AC = 6, BC = 5$なので、

$4 : 6 = BD : DC$

$BD : DC = 2 : 3$

したがって、$BD = \frac{2}{2+3} \times BC = \frac{2}{5} \times 5 = 2$

次に、$BE$の長さを求める。角の二等分線の性質より、$AB : AC = BE : CE$である。

$AB = 4, AC = 6, BC = 5$なので、

$4 : 6 = BE : CE$

$4 : 6 = BE : (BE + 5)$

$6BE = 4(BE + 5)$

$6BE = 4BE + 20$

$2BE = 20$

$BE = 10$

最後に、$DE$の長さを求める。$DE = BE + BD$である。

$BE = 10, BD = 2$なので、

$DE = 10 + 2 = 12$

3. 最終的な答え

$BE = 10$

$DE = 12$