三角形ABCにおいて、APは角Aの二等分線、AQは角Aの外角の二等分線である。 BPとCQの長さを求めよ。 ただし、AB=6、AC=4、BC=5である。

はい、承知しました。問題86に取り組みます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、APは角Aの二等分線、AQは角Aの外角の二等分線である。

BPとCQの長さを求めよ。

ただし、AB=6、AC=4、BC=5である。

2. 解き方の手順

(1) BPの長さを求める。

角の二等分線の性質より、

$BP:PC = AB:AC$

$BP:PC = 6:4 = 3:2$

$BC = BP + PC = 5$ なので、

$BP = \frac{3}{3+2} \times BC = \frac{3}{5} \times 5 = 3$

(2) CQの長さを求める。

角の外角の二等分線の性質より、

$BQ:CQ = AB:AC$

$BQ = BC + CQ = 5 + CQ$ なので、

$(5+CQ):CQ = 6:4$

$4(5+CQ) = 6CQ$

$20 + 4CQ = 6CQ$

$2CQ = 20$

$CQ = 10$

3. 最終的な答え

(1) $BP = 3$

(2) $CQ = 10$