座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 + 2ax + 2ay + 3 - 6a = 0$ と直線 $l: y = m(x-2) (m > 0)$ がある。点 (9, 4) は C 上の点である。 (1) 定数 $a$ の値を求める。 (2) $l$ と C が接するような定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。 (3) $l$ と C が共有点をもつような定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 + 2ax + 2ay + 3 - 6a = 0$ と直線 $l: y = m(x-2) (m > 0)$ がある。点 (9, 4) は C 上の点である。

(1) 定数 $a$ の値を求める。

(2) $l$ と C が接するような定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

(3) $l$ と C が共有点をもつような定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 (9, 4) が円 C 上の点であるから、円の方程式に $x = 9$, $y = 4$ を代入して $a$ を求める。

$9^2 + 4^2 + 2a(9) + 2a(4) + 3 - 6a = 0$

$81 + 16 + 18a + 8a + 3 - 6a = 0$

$100 + 20a = 0$

$a = -5$

(2) $a = -5$ を円 C の方程式に代入すると、

$x^2 + y^2 - 10x - 10y + 3 + 30 = 0$

$x^2 - 10x + y^2 - 10y + 33 = 0$

$(x - 5)^2 - 25 + (y - 5)^2 - 25 + 33 = 0$

$(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 17$

円 C の中心は (5, 5)、半径は $\sqrt{17}$ である。

直線 $l: y = m(x - 2)$ は $mx - y - 2m = 0$ と表せる。

円 C と直線 $l$ が接するとき、円の中心 (5, 5) と直線 $l$ の距離が半径 $\sqrt{17}$ に等しい。

$\frac{|m(5) - 5 - 2m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{17}$

$\frac{|3m - 5|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{17}$

両辺を2乗して

$(3m - 5)^2 = 17(m^2 + 1)$

$9m^2 - 30m + 25 = 17m^2 + 17$

$8m^2 + 30m - 8 = 0$

$4m^2 + 15m - 4 = 0$

$(4m - 1)(m + 4) = 0$

$m = \frac{1}{4}, -4$

$m > 0$ より $m = \frac{1}{4}$

接点の座標を求める。

$y = \frac{1}{4}(x - 2)$

$4y = x - 2$

$x = 4y + 2$

これを円の方程式に代入する。

$(4y + 2 - 5)^2 + (y - 5)^2 = 17$

$(4y - 3)^2 + (y - 5)^2 = 17$

$16y^2 - 24y + 9 + y^2 - 10y + 25 = 17$

$17y^2 - 34y + 17 = 0$

$y^2 - 2y + 1 = 0$

$(y - 1)^2 = 0$

$y = 1$

$x = 4(1) + 2 = 6$

接点の座標は (6, 1)

(3) 円 C と直線 $l$ が共有点をもつ条件は、円の中心と直線の距離が半径以下となることである。

$\frac{|3m - 5|}{\sqrt{m^2 + 1}} \leq \sqrt{17}$

$(3m - 5)^2 \leq 17(m^2 + 1)$

$9m^2 - 30m + 25 \leq 17m^2 + 17$

$8m^2 + 30m - 8 \geq 0$

$4m^2 + 15m - 4 \geq 0$

$(4m - 1)(m + 4) \geq 0$

$m \leq -4$ または $m \geq \frac{1}{4}$

$m > 0$ より $m \geq \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a = -5$

(2) $m = \frac{1}{4}$, 接点の座標は (6, 1)

(3) $m \geq \frac{1}{4}$