ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の変換によって移されたベクトルを求める問題です。 (1) y軸について対称移動 (2) 原点について対称移動 (3) 原点を中心に60°回転移動 (4) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に45°回転移動 (5) 原点を中心に30°回転移動し、$x$軸について対称移動した後に、原点を中心に60°回転移動 (6) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に45°回転移動した後に、$y$軸について対称移動

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の変換によって移されたベクトルを求める問題です。

(1) y軸について対称移動

(2) 原点について対称移動

(3) 原点を中心に60°回転移動

(4) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に45°回転移動

(5) 原点を中心に30°回転移動し、$x$軸について対称移動した後に、原点を中心に60°回転移動

(6) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に45°回転移動した後に、$y$軸について対称移動

2. 解き方の手順

(1) y軸についての対称移動は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$ となります。

(2) 原点についての対称移動は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$ となります。

(3) 原点を中心に$\theta$回転させる回転行列は

$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

で与えられます。$\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ ラジアンの場合、

$R(60^\circ) = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{3} & -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

従って、変換後のベクトルは

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \\ \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \end{pmatrix}$

(4) $y=x$ に関する対称移動は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ となります。次に、原点を中心に45°回転させるので、$\theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ ラジアンの場合、

$R(45^\circ) = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{4} & -\sin\frac{\pi}{4} \\ \sin\frac{\pi}{4} & \cos\frac{\pi}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$

従って、$y=x$ に関する対称移動後のベクトル $\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ を回転させると、

$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}y - \frac{\sqrt{2}}{2}x \\ \frac{\sqrt{2}}{2}y + \frac{\sqrt{2}}{2}x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}(y - x) \\ \frac{\sqrt{2}}{2}(y + x) \end{pmatrix}$

(5) 原点を中心に30°回転させるので、$\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ ラジアンの場合、

$R(30^\circ) = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{6} & -\sin\frac{\pi}{6} \\ \sin\frac{\pi}{6} & \cos\frac{\pi}{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

従って、回転後のベクトルは

$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$

次に、$x$軸について対称移動させると、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}$ であるから、

$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ -(\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$

最後に、原点を中心に60°回転させるので、

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{4}x - \frac{1}{4}y + \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{3}{4}y \\ \frac{3}{4}x - \frac{\sqrt{3}}{4}y - \frac{1}{4}x - \frac{\sqrt{3}}{4}y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$

(6) $y=x$ に関する対称移動は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ となります。次に、原点を中心に45°回転させるので、

$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}y - \frac{\sqrt{2}}{2}x \\ \frac{\sqrt{2}}{2}y + \frac{\sqrt{2}}{2}x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}(y - x) \\ \frac{\sqrt{2}}{2}(y + x) \end{pmatrix}$

最後に、$y$軸について対称移動させると、

$\begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2}(y - x) \\ \frac{\sqrt{2}}{2}(y + x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}(x - y) \\ \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y) \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \\ \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}(y - x) \\ \frac{\sqrt{2}}{2}(y + x) \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}(x - y) \\ \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y) \end{pmatrix}$