ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の変換によって移されるベクトルを求めます。 (1) $y$軸について対称移動 (2) 原点について対称移動 (3) 原点を中心に $60^\circ$ 回転移動 (4) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に $45^\circ$ 回転移動 (5) 原点を中心に $30^\circ$ 回転移動し、$x$軸について対称移動した後に、原点を中心に $60^\circ$ 回転移動 (6) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に $45^\circ$ 回転移動した後に、$y$軸について対称移動

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の変換によって移されるベクトルを求めます。

(1) $y$軸について対称移動

(2) 原点について対称移動

(3) 原点を中心に $60^\circ$ 回転移動

(4) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に $45^\circ$ 回転移動

(5) 原点を中心に $30^\circ$ 回転移動し、$x$軸について対称移動した後に、原点を中心に $60^\circ$ 回転移動

(6) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に $45^\circ$ 回転移動した後に、$y$軸について対称移動

2. 解き方の手順

(1) $y$軸について対称移動:

$y$軸に関して対称な点の座標は、$x$座標の符号が反転します。

したがって、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$ に移ります。

(2) 原点について対称移動:

原点に関して対称な点の座標は、$x$座標と$y$座標の符号が反転します。

したがって、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$ に移ります。

(3) 原点を中心に $60^\circ$ 回転移動:

回転行列は

$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

で表されます。$\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ のとき、

$R(60^\circ) = \begin{pmatrix} \cos(60^\circ) & -\sin(60^\circ) \\ \sin(60^\circ) & \cos(60^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

したがって、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \\ \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \end{pmatrix}$ に移ります。

(4) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に $45^\circ$ 回転移動:

$y=x$ について対称移動すると、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ に移ります。

$45^\circ$回転行列は $R(45^\circ) = \begin{pmatrix} \cos(45^\circ) & -\sin(45^\circ) \\ \sin(45^\circ) & \cos(45^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$

したがって、$\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}y - \frac{\sqrt{2}}{2}x \\ \frac{\sqrt{2}}{2}y + \frac{\sqrt{2}}{2}x \end{pmatrix}$ に移ります。

(5) 原点を中心に $30^\circ$ 回転移動し、$x$軸について対称移動した後に、原点を中心に $60^\circ$ 回転移動:

$30^\circ$回転行列は $R(30^\circ) = \begin{pmatrix} \cos(30^\circ) & -\sin(30^\circ) \\ \sin(30^\circ) & \cos(30^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$ に移ります。

$x$軸に関して対称移動すると、$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$ に移ります。

$60^\circ$回転行列は $R(60^\circ) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

したがって、$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y) - \frac{\sqrt{3}}{2}(-\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y) \\ \frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y) + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{4}x - \frac{1}{4}y + \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{3}{4}y \\ \frac{3}{4}x - \frac{\sqrt{3}}{4}y - \frac{1}{4}x - \frac{\sqrt{3}}{4}y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$

(6) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に $45^\circ$ 回転移動した後に、$y$軸について対称移動:

$y=x$ について対称移動すると、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ に移ります。

$45^\circ$回転行列は $R(45^\circ) = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}y - \frac{\sqrt{2}}{2}x \\ \frac{\sqrt{2}}{2}y + \frac{\sqrt{2}}{2}x \end{pmatrix}$ に移ります。

$y$軸に関して対称移動すると、$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}y - \frac{\sqrt{2}}{2}x \\ \frac{\sqrt{2}}{2}y + \frac{\sqrt{2}}{2}x \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2}y + \frac{\sqrt{2}}{2}x \\ \frac{\sqrt{2}}{2}y + \frac{\sqrt{2}}{2}x \end{pmatrix}$ に移ります。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \\ \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}y - \frac{\sqrt{2}}{2}x \\ \frac{\sqrt{2}}{2}y + \frac{\sqrt{2}}{2}x \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}y \\ \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2}y \end{pmatrix}$