ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対して、以下の変換を行った後のベクトルを求める。 (1) $y$軸について対称移動 (2) 原点について対称移動 (3) 原点を中心に$60^\circ$回転移動 (4) $y=x$について対称移動し、原点を中心に$45^\circ$回転移動 (5) 原点を中心に$30^\circ$回転移動し、$x$軸について対称移動した後に、原点を中心に$60^\circ$回転移動 (6) $y=x$について対称移動し、原点を中心に$45^\circ$回転移動した後に、$y$軸について対称移動

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対して、以下の変換を行った後のベクトルを求める。

(1) $y$軸について対称移動

(2) 原点について対称移動

(3) 原点を中心に$60^\circ$回転移動

(4) $y=x$について対称移動し、原点を中心に$45^\circ$回転移動

(5) 原点を中心に$30^\circ$回転移動し、$x$軸について対称移動した後に、原点を中心に$60^\circ$回転移動

(6) $y=x$について対称移動し、原点を中心に$45^\circ$回転移動した後に、$y$軸について対称移動

2. 解き方の手順

(1) $y$軸について対称移動：

$x$座標の符号が反転する。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$

(2) 原点について対称移動：

$x$座標と$y$座標の符号が反転する。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$

(3) 原点を中心に$60^\circ$回転移動：

回転行列を掛ける。

回転行列は $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ である。

$\theta = 60^\circ$のとき、$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \\ \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \end{pmatrix}$

(4) $y=x$について対称移動し、原点を中心に$45^\circ$回転移動：

$y=x$について対称移動すると、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$

原点を中心に$45^\circ$回転移動すると、

$\theta = 45^\circ$のとき、$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$なので、

$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}y - \frac{1}{\sqrt{2}}x \\ \frac{1}{\sqrt{2}}y + \frac{1}{\sqrt{2}}x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{y-x}{\sqrt{2}} \\ \frac{y+x}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

(5) 原点を中心に$30^\circ$回転移動し、$x$軸について対称移動した後に、原点を中心に$60^\circ$回転移動：

原点を中心に$30^\circ$回転移動すると、

$\theta = 30^\circ$のとき、$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$なので、

$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$

$x$軸について対称移動すると、$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$

原点を中心に$60^\circ$回転移動すると、

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y) - \frac{\sqrt{3}}{2}(-\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y) \\ \frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y) + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{4}x - \frac{1}{4}y + \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{3}{4}y \\ \frac{3}{4}x - \frac{\sqrt{3}}{4}y - \frac{1}{4}x - \frac{\sqrt{3}}{4}y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$

(6) $y=x$について対称移動し、原点を中心に$45^\circ$回転移動した後に、$y$軸について対称移動：

$y=x$について対称移動すると、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$

原点を中心に$45^\circ$回転移動すると、$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{y-x}{\sqrt{2}} \\ \frac{y+x}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

$y$軸について対称移動すると、$\begin{pmatrix} \frac{y-x}{\sqrt{2}} \\ \frac{y+x}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \frac{x-y}{\sqrt{2}} \\ \frac{y+x}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \\ \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} \frac{y-x}{\sqrt{2}} \\ \frac{y+x}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} \frac{x-y}{\sqrt{2}} \\ \frac{y+x}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$