ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を与えられた変換によって移されたベクトルを求める問題です。以下の6つの変換について解答します。 (1) $y$軸について対称移動 (2) 原点について対称移動 (3) 原点を中心に60°回転移動 (4) $y=x$について対称移動し、原点を中心に45°回転移動 (5) 原点を中心に30°回転移動し、$x$軸について対称移動した後に、原点を中心に60°回転移動 (6) $y=x$について対称移動し、原点を中心に45°回転移動した後に、$y$軸について対称移動

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を与えられた変換によって移されたベクトルを求める問題です。以下の6つの変換について解答します。

(1) $y$軸について対称移動

(2) 原点について対称移動

(3) 原点を中心に60°回転移動

(4) $y=x$について対称移動し、原点を中心に45°回転移動

(5) 原点を中心に30°回転移動し、$x$軸について対称移動した後に、原点を中心に60°回転移動

(6) $y=x$について対称移動し、原点を中心に45°回転移動した後に、$y$軸について対称移動

2. 解き方の手順

(1) $y$軸に関する対称移動は $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$ です。

(2) 原点に関する対称移動は $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$ です。

(3) 原点を中心とする $\theta$ 回転の変換行列は $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ です。したがって、60°回転移動は $\theta = \frac{\pi}{3}$ なので、変換行列は $\begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{3} & -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ となります。よって、 $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \\ \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \end{pmatrix}$ となります。

(4) $y=x$ に関する対称移動は $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ です。これは変換行列 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ に相当します。

原点を中心とする 45° 回転移動は $\theta = \frac{\pi}{4}$ なので、変換行列は $\begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{4} & -\sin\frac{\pi}{4} \\ \sin\frac{\pi}{4} & \cos\frac{\pi}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ となります。

$y=x$ に関して対称移動した後、45°回転移動するので、

$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}y - \frac{1}{\sqrt{2}}x \\ \frac{1}{\sqrt{2}}y + \frac{1}{\sqrt{2}}x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{y-x}{\sqrt{2}} \\ \frac{y+x}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ となります。

(5) 原点を中心に30°回転移動は $\theta = \frac{\pi}{6}$ なので、変換行列は $\begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{6} & -\sin\frac{\pi}{6} \\ \sin\frac{\pi}{6} & \cos\frac{\pi}{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$ となります。

$x$軸に関する対称移動は $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}$ です。これは変換行列 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ に相当します。

原点を中心に60°回転移動は $\theta = \frac{\pi}{3}$ なので、変換行列は $\begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{3} & -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ となります。

30°回転移動、x軸について対称移動、60°回転移動の順に変換するので、

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{4}x - \frac{1}{4}y + \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{3}{4}y \\ \frac{3}{4}x - \frac{\sqrt{3}}{4}y - \frac{1}{4}x - \frac{\sqrt{3}}{4}y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$ となります。

(6) $y=x$ に関する対称移動は $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ です。

原点を中心とする 45° 回転移動は $\theta = \frac{\pi}{4}$ なので、変換行列は $\begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{4} & -\sin\frac{\pi}{4} \\ \sin\frac{\pi}{4} & \cos\frac{\pi}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ となります。

$y$軸に関する対称移動は $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$ です。

$y=x$ に関して対称移動した後、45°回転移動し、$y$軸に関して対称移動するので、

$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}y - \frac{1}{\sqrt{2}}x \\ \frac{1}{\sqrt{2}}y + \frac{1}{\sqrt{2}}x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}}y + \frac{1}{\sqrt{2}}x \\ \frac{1}{\sqrt{2}}y + \frac{1}{\sqrt{2}}x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{x-y}{\sqrt{2}} \\ \frac{x+y}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \\ \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} \frac{y-x}{\sqrt{2}} \\ \frac{y+x}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} \frac{x-y}{\sqrt{2}} \\ \frac{x+y}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$