ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対して、以下の変換を行った結果のベクトルをそれぞれ求めます。 (1) $y$ 軸について対称移動 (2) 原点について対称移動 (3) 原点を中心に $60^\circ$ 回転移動 (4) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に $45^\circ$ 回転移動 (5) 原点を中心に $30^\circ$ 回転移動し、$x$ 軸について対称移動した後に、原点を中心に $60^\circ$ 回転移動 (6) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に $45^\circ$ 回転移動した後に、$y$ 軸について対称移動

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対して、以下の変換を行った結果のベクトルをそれぞれ求めます。

(1) $y$ 軸について対称移動

(2) 原点について対称移動

(3) 原点を中心に $60^\circ$ 回転移動

(4) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に $45^\circ$ 回転移動

(5) 原点を中心に $30^\circ$ 回転移動し、$x$ 軸について対称移動した後に、原点を中心に $60^\circ$ 回転移動

(6) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に $45^\circ$ 回転移動した後に、$y$ 軸について対称移動

2. 解き方の手順

(1) $y$ 軸に関する対称移動は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$ となります。

(2) 原点に関する対称移動は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$ となります。

(3) 原点を中心に $\theta$ 回転させる回転行列は、

$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

なので、$60^\circ$ 回転は

$R(60^\circ) = \begin{pmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}$

したがって、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} (1/2)x - (\sqrt{3}/2)y \\ (\sqrt{3}/2)x + (1/2)y \end{pmatrix}$

(4) $y=x$ に関する対称移動は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ となります。

$45^\circ$ 回転は

$R(45^\circ) = \begin{pmatrix} \cos 45^\circ & -\sin 45^\circ \\ \sin 45^\circ & \cos 45^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}$

したがって、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} (1/\sqrt{2})y - (1/\sqrt{2})x \\ (1/\sqrt{2})y + (1/\sqrt{2})x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-x+y)/\sqrt{2} \\ (x+y)/\sqrt{2} \end{pmatrix}$

(5) $30^\circ$ 回転は

$R(30^\circ) = \begin{pmatrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & -1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$

$x$ 軸に関する対称移動は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}$ となります。

したがって、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} (\sqrt{3}/2)x - (1/2)y \\ (1/2)x + (\sqrt{3}/2)y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} (\sqrt{3}/2)x - (1/2)y \\ -(1/2)x - (\sqrt{3}/2)y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} (1/2)((\sqrt{3}/2)x - (1/2)y) - (\sqrt{3}/2)(-(1/2)x - (\sqrt{3}/2)y) \\ (\sqrt{3}/2)((\sqrt{3}/2)x - (1/2)y) + (1/2)(-(1/2)x - (\sqrt{3}/2)y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\sqrt{3}/4)x - (1/4)y + (\sqrt{3}/4)x + (3/4)y \\ (3/4)x - (\sqrt{3}/4)y - (1/4)x - (\sqrt{3}/4)y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\sqrt{3}/2)x + (1/2)y \\ (1/2)x - (\sqrt{3}/2)y \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} (1/\sqrt{2})y - (1/\sqrt{2})x \\ (1/\sqrt{2})y + (1/\sqrt{2})x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-x+y)/\sqrt{2} \\ (x+y)/\sqrt{2} \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} ((x-y)/\sqrt{2}) \\ ((x+y)/\sqrt{2}) \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} (1/2)x - (\sqrt{3}/2)y \\ (\sqrt{3}/2)x + (1/2)y \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} (-x+y)/\sqrt{2} \\ (x+y)/\sqrt{2} \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} (\sqrt{3}/2)x + (1/2)y \\ (1/2)x - (\sqrt{3}/2)y \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} (y-x)/\sqrt{2} \\ (x+y)/\sqrt{2} \end{pmatrix}$