平面上の $\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $P$、線分 $OP$ を $t:(1-t)$ ($0<t<1$) に内分する点を $Q$、直線 $BQ$ と辺 $OA$ の交点を $R$ とする。 (1) $\frac{OR}{RA}$ を $t$ を用いて表せ。 (2) $\frac{BQ}{QR}$ を $t$ を用いて表せ。 (3) $\triangle OQR$ と $\triangle BQP$ の面積の比が $1:4$ であるとき、$t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

平面上の $\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $P$、線分 $OP$ を $t:(1-t)$ ($0<t<1$) に内分する点を $Q$、直線 $BQ$ と辺 $OA$ の交点を $R$ とする。

(1) $\frac{OR}{RA}$ を $t$ を用いて表せ。

(2) $\frac{BQ}{QR}$ を $t$ を用いて表せ。

(3) $\triangle OQR$ と $\triangle BQP$ の面積の比が $1:4$ であるとき、$t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{OP} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{5}$

$\vec{OQ} = (1-t)\vec{OP} = (1-t)\frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{5} = \frac{3(1-t)}{5}\vec{OA} + \frac{2(1-t)}{5}\vec{OB}$

点 $R$ は直線 $BQ$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて $\vec{OR} = k\vec{OA}$ と表せる。

点 $R$ は直線 $BQ$ 上にあるので、$\vec{OR} = s\vec{OB} + (1-s)\vec{OQ}$ と表せる。

したがって、$\vec{OR} = s\vec{OB} + (1-s)\left(\frac{3(1-t)}{5}\vec{OA} + \frac{2(1-t)}{5}\vec{OB}\right) = \frac{3(1-s)(1-t)}{5}\vec{OA} + \left(s + \frac{2(1-s)(1-t)}{5}\right)\vec{OB}$

$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ は一次独立なので、$k\vec{OA} = \frac{3(1-s)(1-t)}{5}\vec{OA} + \left(s + \frac{2(1-s)(1-t)}{5}\right)\vec{OB}$ より、

$k = \frac{3(1-s)(1-t)}{5}$ かつ $0 = s + \frac{2(1-s)(1-t)}{5}$

$5s + 2(1-s)(1-t) = 0$

$5s + 2(1 - t - s + st) = 0$

$5s + 2 - 2t - 2s + 2st = 0$

$3s + 2st = 2t - 2$

$s(3 + 2t) = 2t - 2$

$s = \frac{2t - 2}{2t + 3}$

$k = \frac{3(1 - \frac{2t-2}{2t+3})(1-t)}{5} = \frac{3(\frac{2t+3 - 2t + 2}{2t+3})(1-t)}{5} = \frac{3(\frac{5}{2t+3})(1-t)}{5} = \frac{3(1-t)}{2t+3}$

したがって、$\vec{OR} = \frac{3(1-t)}{2t+3}\vec{OA}$

$\frac{OR}{OA} = \frac{3(1-t)}{2t+3}$

$\frac{OR}{RA} = \frac{OR}{OA - OR} = \frac{\frac{OR}{OA}}{1 - \frac{OR}{OA}} = \frac{\frac{3(1-t)}{2t+3}}{1 - \frac{3(1-t)}{2t+3}} = \frac{3(1-t)}{2t+3 - 3 + 3t} = \frac{3(1-t)}{5t} = \frac{3(1-t)}{5t}$

(2)

点 $Q$ は直線 $BR$ 上にあるので、$\frac{BQ}{QR} = \frac{1-s}{s}$

$\frac{BQ}{QR} = \frac{1-\frac{2t-2}{2t+3}}{\frac{2t-2}{2t+3}} = \frac{2t+3-2t+2}{2t-2} = \frac{5}{2t-2}$

(3)

$\triangle OQR = \frac{1}{2} OR \cdot OQ \cdot \sin{\angle ROQ}$

$\triangle BQP = \frac{1}{2} BQ \cdot QP \cdot \sin{\angle BQP}$

$\frac{\triangle OQR}{\triangle BQP} = \frac{1}{4}$

$\frac{\frac{1}{2} OR \cdot OQ \cdot \sin{\angle ROQ}}{\frac{1}{2} BQ \cdot QP \cdot \sin{\angle BQP}} = \frac{1}{4}$

$\frac{OR \cdot OQ}{BQ \cdot QP} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{OR}{RA} = \frac{3(1-t)}{5t}$

(2) $\frac{BQ}{QR} = \frac{5}{2-2t}$

(3) $t = \frac{7}{9}$