空間内に3点 A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(t, t, t) が与えられている。三角形 ABC の面積を S(t) とおく。 (1) S(t) を求めよ。 (2) S(t) が最小となるときの t の値と、その最小値、およびそのときの∠ACB を求めよ。

1. 問題の内容

空間内に3点 A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(t, t, t) が与えられている。三角形 ABC の面積を S(t) とおく。

(1) S(t) を求めよ。

(2) S(t) が最小となるときの t の値と、その最小値、およびそのときの∠ACB を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を求める。

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{AC} = \begin{pmatrix} t \\ t \\ t \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t-2 \\ t \\ t \end{pmatrix}$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2t - 0 \\ 0 - (-2t) \\ -2t - (2t - 4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2t \\ 2t \\ -4t + 4 \end{pmatrix}$

$|\vec{AB} \times \vec{AC}|^2 = (2t)^2 + (2t)^2 + (-4t + 4)^2 = 4t^2 + 4t^2 + 16t^2 - 32t + 16 = 24t^2 - 32t + 16$

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{24t^2 - 32t + 16}$

三角形の面積は、$S(t) = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{24t^2 - 32t + 16} = \sqrt{6t^2 - 8t + 4}$

$S(t) = \sqrt{6t^2 - 8t + 4} = \sqrt{6(t^2 - \frac{4}{3}t) + 4} = \sqrt{6(t - \frac{2}{3})^2 - 6 \times \frac{4}{9} + 4} = \sqrt{6(t - \frac{2}{3})^2 - \frac{8}{3} + \frac{12}{3}} = \sqrt{6(t - \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3}}$

(2)

$S(t)$ が最小となるのは、$t = \frac{2}{3}$ のとき。

その最小値は、$S(\frac{2}{3}) = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\vec{CA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

$\vec{CB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{4}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (\frac{4}{3})(-\frac{2}{3}) + (-\frac{2}{3})(\frac{4}{3}) + (-\frac{2}{3})(-\frac{2}{3}) = -\frac{8}{9} - \frac{8}{9} + \frac{4}{9} = -\frac{12}{9} = -\frac{4}{3}$

$|\vec{CA}| = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + (-\frac{2}{3})^2 + (-\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{24}{9}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$

$|\vec{CB}| = \sqrt{(-\frac{2}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (-\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{16}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{24}{9}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$

$\cos \angle ACB = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}||\vec{CB}|} = \frac{-\frac{4}{3}}{(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}})(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}})} = \frac{-\frac{4}{3}}{\frac{8}{3}} = -\frac{1}{2}$

$\angle ACB = 120^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $S(t) = \sqrt{6t^2 - 8t + 4}$

(2) $S(t)$ は $t = \frac{2}{3}$ のとき、最小値 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ をとる。

また、このとき、∠ACB = $120^\circ$ である。