図のような四角形ABCDがあり、AB = 4cm、BC = 8cmです。点Aから辺BCに下ろした垂線とBCとの交点をEとし、BE = 2cmとします。このとき、以下の値を求める問題です。 (1) △ABEの面積、ACの長さ、∠ABCの角度 (2) ∠ABCの二等分線が辺AD, 線分ACと交わる点をそれぞれF, Gとする。線分ACと線分DEの交わる点をHとしたとき、AH:HC, BFの長さ、△AGFの面積、AG:HC

はい、承知いたしました。問題の解き方を以下に示します。

1. 問題の内容

図のような四角形ABCDがあり、AB = 4cm、BC = 8cmです。点Aから辺BCに下ろした垂線とBCとの交点をEとし、BE = 2cmとします。このとき、以下の値を求める問題です。

(1) △ABEの面積、ACの長さ、∠ABCの角度

(2) ∠ABCの二等分線が辺AD, 線分ACと交わる点をそれぞれF, Gとする。線分ACと線分DEの交わる点をHとしたとき、AH:HC, BFの長さ、△AGFの面積、AG:HC

2. 解き方の手順

(1)

* △ABEの面積:

△ABEは直角三角形なので、面積は $\frac{1}{2} \times BE \times AE$ で求められます。

$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

△ABEの面積 = $\frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

* ACの長さ:

△AECは直角三角形なので、$AC = \sqrt{AE^2 + EC^2}$で求められます。

$EC = BC - BE = 8 - 2 = 6$

$AC = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{12 + 36} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

* ∠ABCの角度:

sin∠ABC = $\frac{AE}{AB} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、∠ABC = $60^\circ$

(2)

* AH:HC

BFは∠ABCの二等分線なので、角の二等分線の性質より

AF:FC = AB:BC = 4:8 = 1:2

平行線の錯角より、∠BFA=∠CBF、∠AFB=∠CFBなので、

∠ABF=∠CBFとなる。

よって、AB:BC= AF:CF=4:8=1:2

また、DE//BCなので、AH:HC = AF:FB = 1:2

* BFの長さ

△ABFにおいて、余弦定理より、

$AF = \frac{1}{3}AC = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

$BF^2 = AB^2+AF^2-2*AB*AF*cos∠BAF$

$∠BAF = ∠BAC$なので

$cos∠BAC = \frac{AB}{AC}=\frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$BF^2 = 4^2+(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2-2*4*\frac{4\sqrt{3}}{3}*\frac{\sqrt{3}}{3} = 16+\frac{16}{3}-\frac{32}{3} = 16-\frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

$BF = \sqrt{\frac{32}{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$

* △AGFの面積

* AG:HC

3. 最終的な答え

(1)

△ABEの面積: $2\sqrt{3}$ $cm^2$

AC: $4\sqrt{3}$ cm

∠ABC: $60^\circ$

(2)

AH:HC = 1:2

BF = $\frac{4\sqrt{6}}{3}$cm

△AGFの面積:

AG:HC =