与えられた点と直線の距離を求める問題です。 (1) 点 $(1, 2)$ と直線 $3x - 4y - 1 = 0$ (2) 点 $(2, -3)$ と直線 $2x + y - 3 = 0$ (3) 点 $(-1, 5)$ と直線 $y = 3x - 2$

1. 問題の内容

与えられた点と直線の距離を求める問題です。

(1) 点 $(1, 2)$ と直線 $3x - 4y - 1 = 0$

(2) 点 $(2, -3)$ と直線 $2x + y - 3 = 0$

(3) 点 $(-1, 5)$ と直線 $y = 3x - 2$

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は次の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

(1) 点 $(1, 2)$ と直線 $3x - 4y - 1 = 0$ の場合:

$x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $a = 3$, $b = -4$, $c = -1$ を公式に代入します。

$d = \frac{|3(1) - 4(2) - 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 - 8 - 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-6|}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5}$

(2) 点 $(2, -3)$ と直線 $2x + y - 3 = 0$ の場合:

$x_0 = 2$, $y_0 = -3$, $a = 2$, $b = 1$, $c = -3$ を公式に代入します。

$d = \frac{|2(2) + (-3) - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|4 - 3 - 3|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(3) 点 $(-1, 5)$ と直線 $y = 3x - 2$ の場合:

まず、直線を一般形 $ax + by + c = 0$ に変換します。

$3x - y - 2 = 0$

$x_0 = -1$, $y_0 = 5$, $a = 3$, $b = -1$, $c = -2$ を公式に代入します。

$d = \frac{|3(-1) - 1(5) - 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3 - 5 - 2|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|-10|}{\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \frac{10\sqrt{10}}{10} = \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{6}{5}$

(2) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(3) $\sqrt{10}$