$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:3$ に内分する点を $D$、辺 $AB$ の中点を $E$ とする。線分 $BC$ と線分 $ED$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:3$ に内分する点を $D$、辺 $AB$ の中点を $E$ とする。線分 $BC$ と線分 $ED$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$C, D, E$ の位置ベクトルを $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。

$\overrightarrow{OC} = \frac{2}{5}\vec{a}$

$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{4}\vec{b}$

$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$

次に、点 $P$ は線分 $BC$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OB} + s\overrightarrow{OC} = (1-s)\vec{b} + s\frac{2}{5}\vec{a} = \frac{2s}{5}\vec{a} + (1-s)\vec{b}$

また、点 $P$ は線分 $ED$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて、

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OE} + t\overrightarrow{OD} = (1-t)\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}) + t\frac{1}{4}\vec{b} = \frac{1-t}{2}\vec{a} + \frac{2-t}{4}\vec{b}$

したがって、

$\frac{2s}{5}\vec{a} + (1-s)\vec{b} = \frac{1-t}{2}\vec{a} + \frac{2-t}{4}\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{2s}{5} = \frac{1-t}{2}$

$1-s = \frac{2-t}{4}$

これらの式から $s$ と $t$ を求める。

$4s = 5(1-t) \implies 4s = 5 - 5t \implies 4s + 5t = 5$

$4 - 4s = 2 - t \implies 4s - t = 2$

$4s + 5t = 5$

$4s - t = 2$

上の式から下の式を引くと、

$6t = 3$

$t = \frac{1}{2}$

$4s - \frac{1}{2} = 2$

$4s = \frac{5}{2}$

$s = \frac{5}{8}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{2s}{5}\vec{a} + (1-s)\vec{b} = \frac{2}{5}\cdot\frac{5}{8}\vec{a} + (1-\frac{5}{8})\vec{b} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b}$