中心角が $\frac{\pi}{3}$ の扇形OABに内接する長方形PQRSを考える。OA=1とする。 (1) $\angle AOP = \theta$ とするとき、RSの長さを$\theta$を用いて表す。 (2) 長方形PQRSの面積Sの最大値と、そのときの$\theta$の値を求める。

1. 問題の内容

中心角が $\frac{\pi}{3}$ の扇形OABに内接する長方形PQRSを考える。OA=1とする。

(1) $\angle AOP = \theta$ とするとき、RSの長さを$\theta$を用いて表す。

(2) 長方形PQRSの面積Sの最大値と、そのときの$\theta$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

AP = RSとなる。

$\angle AOP = \theta$ より、AP = $\sin\theta$

したがって、RS = $\sin\theta$

(2)

OS = $\cos\theta$

OR = OA = 1

SR = PQ = $1-\cos\theta$

長方形PQRSの面積Sは、

$S = RS \cdot SR = \sin\theta(1-\cos\theta) = \sin\theta - \sin\theta\cos\theta$

ここで、$f(\theta) = \sin\theta(1-\cos\theta)$とする。

$f'(\theta) = \cos\theta - \cos^2\theta + \sin^2\theta = \cos\theta - \cos^2\theta + (1 - \cos^2\theta) = \cos\theta - 2\cos^2\theta + 1$

$f'(\theta) = 0$となる$\theta$を求める。

$\cos\theta - 2\cos^2\theta + 1 = 0$

$2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$

$(2\cos\theta + 1)(\cos\theta - 1) = 0$

$\cos\theta = 1$または$\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ より、$\theta$は0より大きく$\frac{\pi}{3}$より小さいので、$\cos\theta = 1$は不適。

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$となる$\theta$は、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ だが、$\theta$の範囲から不適。

$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$において$0 < \cos\theta < 1$なので、$2\cos\theta+1 > 0$である。

ゆえに$f'(\theta) = 0$となる$\theta$はない。

$\sin\theta (1 - \cos\theta)$ の最大値を求めるために、角度の範囲を確認する。

$\angle AOP = \theta$ であり、長方形が扇形に内接しているため、

$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ である。

$f'(\theta) = \cos\theta - \cos^2\theta + \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - \cos\theta -1 = -(2\cos\theta+1)(\cos\theta - 1)$

範囲内で$f'(\theta) = 0$となる$\theta$はない。

$f'(\theta) = 0$となる$\theta$がない場合、区間の端で最大値を取る可能性がある。

$\theta \to 0$ のとき $S = \sin\theta - \sin\theta\cos\theta \to 0$

$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\theta = \frac{1}{2}$

$S = \frac{\sqrt{3}}{2} (1 - \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

別の解き方

$S = \sin\theta (1 - \cos\theta)$

$S' = \cos\theta (1 - \cos\theta) + \sin\theta \sin\theta = \cos\theta - \cos^2\theta + \sin^2\theta = \cos\theta - \cos^2\theta + (1 - \cos^2\theta) = -2\cos^2\theta + \cos\theta + 1$

$S' = 0$ となる$\theta$を探す。

$2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$

$(2\cos\theta + 1)(\cos\theta - 1) = 0$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ または $\cos\theta = 1$

$\theta = \frac{2\pi}{3}$ または $\theta = 0$

$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ なので、両方とも範囲外。

範囲内で$\theta$が最大になるのは$\theta = \frac{\pi}{3}$の時。

$S = \sin(\frac{\pi}{3}) (1 - \cos(\frac{\pi}{3})) = \frac{\sqrt{3}}{2} (1 - \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) RS = $\sin\theta$

(2) Sの最大値は $\frac{\sqrt{3}}{4}$、$\theta = \frac{\pi}{3}$