図において、$PQ = 10$、$\angle AQB = 150^\circ$ であるとき、$AB$ の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

図において、$PQ = 10$、$\angle AQB = 150^\circ$ であるとき、$AB$ の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle AQB$ において、$\angle AQB = 150^\circ$ であるから、$\angle A + \angle B = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ である。

図より、$\angle A = 30^\circ$ であるから、$\angle B = 30^\circ - \angle A = 30^\circ - 30^\circ$ となることはないため、$\angle A = 30^\circ$ は誤りである。

問題文の図より、$\angle QAB = 30^\circ$、$\angle QBA = 45^\circ$ であるから、$\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$である。

すると、$\angle AQB = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ となる。

しかし、問題文より、$\angle AQB = 150^\circ$ であるので、矛盾している。

問題文の図より、$PQ \perp AB$ とみなすことができる。

$\triangle AQP$ において、$\angle AQP = 90^\circ$、$\angle QAP = 30^\circ$ であるから、

$AQ = \frac{PQ}{\tan{30^\circ}} = \frac{10}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 10\sqrt{3}$

$\triangle BQP$ において、$\angle BQP = 90^\circ$、$\angle QBP = 45^\circ$ であるから、

$BQ = \frac{PQ}{\tan{45^\circ}} = \frac{10}{1} = 10$

したがって、$AB = AQ + BQ = 10\sqrt{3} + 10 = 10(\sqrt{3} + 1)$

3. 最終的な答え

$10(\sqrt{3} + 1)$