平面上の $\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $P$、線分 $OP$ を $t:(1-t)$ ($0 < t < 1$) に内分する点を $Q$、直線 $BQ$ と辺 $OA$ の交点を $R$ とする。 (1) $\frac{OR}{RA}$ を $t$ を用いて表せ。 (2) $\frac{BQ}{QR}$ を $t$ を用いて表せ。 (3) $\triangle OQR$ と $\triangle BQP$ の面積の比が $1:4$ であるとき、$t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

平面上の $\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $P$、線分 $OP$ を $t:(1-t)$ ($0 < t < 1$) に内分する点を $Q$、直線 $BQ$ と辺 $OA$ の交点を $R$ とする。

(1) $\frac{OR}{RA}$ を $t$ を用いて表せ。

(2) $\frac{BQ}{QR}$ を $t$ を用いて表せ。

(3) $\triangle OQR$ と $\triangle BQP$ の面積の比が $1:4$ であるとき、$t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とする。

点 $P$ は辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点なので、

$\vec{OP} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5}$

点 $Q$ は線分 $OP$ を $t:1-t$ に内分する点なので、

$\vec{OQ} = (1-t)\vec{OP} = (1-t)\frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{5} = \frac{3(1-t)}{5}\vec{a} + \frac{2(1-t)}{5}\vec{b}$

点 $R$ は直線 $BQ$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて

$\vec{OR} = k\vec{a}$ と表せる。

また、点 $R$ は直線 $BQ$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\vec{OR} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OQ} = (1-s)\vec{b} + s\left(\frac{3(1-t)}{5}\vec{a} + \frac{2(1-t)}{5}\vec{b}\right) = \frac{3s(1-t)}{5}\vec{a} + \left(1-s+\frac{2s(1-t)}{5}\right)\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$k = \frac{3s(1-t)}{5}$

$0 = 1-s+\frac{2s(1-t)}{5}$

$0 = 5-5s+2s-2st$

$5 = 3s+2st = s(3+2t)$

$s = \frac{5}{3+2t}$

$k = \frac{3(1-t)}{5} \cdot \frac{5}{3+2t} = \frac{3(1-t)}{3+2t}$

$\vec{OR} = \frac{3(1-t)}{3+2t} \vec{a}$

よって、$\frac{OR}{OA} = \frac{3(1-t)}{3+2t}$

$\frac{OR}{RA} = \frac{OR}{OA-OR} = \frac{\frac{OR}{OA}}{1-\frac{OR}{OA}} = \frac{\frac{3(1-t)}{3+2t}}{1 - \frac{3(1-t)}{3+2t}} = \frac{3(1-t)}{3+2t-3+3t} = \frac{3(1-t)}{5t} = \frac{3-3t}{5t}$

(2)

$\vec{OQ} = (1-t)\vec{OP} = \frac{3(1-t)}{5}\vec{a} + \frac{2(1-t)}{5}\vec{b}$

$\vec{OB} = \vec{b}$

$\vec{OR} = \frac{3(1-t)}{3+2t}\vec{a}$

$\vec{BQ} = \vec{OQ} - \vec{OB} = \frac{3(1-t)}{5}\vec{a} + \frac{2(1-t)}{5}\vec{b} - \vec{b} = \frac{3(1-t)}{5}\vec{a} + \frac{2(1-t)-5}{5}\vec{b} = \frac{3(1-t)}{5}\vec{a} + \frac{2t-3}{5}\vec{b}$

$\vec{QR} = \vec{OR} - \vec{OQ} = \frac{3(1-t)}{3+2t}\vec{a} - \frac{3(1-t)}{5}\vec{a} - \frac{2(1-t)}{5}\vec{b} = \left(\frac{3(1-t)}{3+2t} - \frac{3(1-t)}{5}\right)\vec{a} - \frac{2(1-t)}{5}\vec{b} = \frac{15(1-t)-3(1-t)(3+2t)}{5(3+2t)}\vec{a} - \frac{2(1-t)}{5}\vec{b} = \frac{15-15t-9+9t-6t+6t^2}{5(3+2t)}\vec{a} - \frac{2(1-t)}{5}\vec{b} = \frac{6-12t+6t^2}{5(3+2t)}\vec{a} - \frac{2(1-t)}{5}\vec{b} = \frac{6(1-t)^2}{5(3+2t)}\vec{a} - \frac{2(1-t)}{5}\vec{b}$

$\vec{BQ} = \frac{3(1-t)}{5}\vec{a} + \frac{2t-3}{5}\vec{b}$

$\vec{QR} = \frac{6(1-t)^2}{5(3+2t)}\vec{a} - \frac{2(1-t)}{5}\vec{b}$

$\vec{BQ} = k\vec{QR}$ より

$\frac{3(1-t)}{5} = k\frac{6(1-t)^2}{5(3+2t)}$

$\frac{2t-3}{5} = -k\frac{2(1-t)}{5}$

$3+2t = 2k(1-t)$

$3-2t = 2k(1-t)$

$k = \frac{3+2t}{2(1-t)}$

$\frac{BQ}{QR} = \frac{1}{t:(1-t)} = \frac{1}{t:(1-t)}$

$\frac{QR}{BQ} = \frac{1}{k} = \frac{2(1-t)}{3-2t}$

$\frac{BQ}{QR} = \frac{3-2t}{2(1-t)} = \frac{3+2t}{2(1-t)}$

(3)

$\triangle OQR = \frac{1}{2}|\vec{OQ} \times \vec{OR}| = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{3(1-t)}{5}\vec{a} + \frac{2(1-t)}{5}\vec{b} \right| \times \left| \frac{3(1-t)}{3+2t}\vec{a} \right| = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{3(1-t)}{5}\vec{a} + \frac{2(1-t)}{5}\vec{b} \right| \cdot \left| \frac{3(1-t)}{3+2t}\vec{a} \right| = \frac{1}{2} \left|\frac{3(1-t)}{5}\cdot\frac{3(1-t)}{3+2t}\vec{a}\times\vec{a}+\frac{2(1-t)}{5}\frac{3(1-t)}{3+2t}\vec{b}\times\vec{a}\right|=\frac{1}{2}|\frac{2(1-t)}{5}\frac{3(1-t)}{3+2t}\vec{b}\times\vec{a}| = \frac{3(1-t)^2}{5(3+2t)}S$ ($S$は$\triangle OAB$の面積)

$\triangle OBP = \frac{2}{5}\triangle OAB$

$\triangle OQP = t \triangle OBP = \frac{2t}{5}\triangle OAB = \frac{2t}{5}S$

$\triangle BQP = \triangle OBP - \triangle OBQ = \frac{2}{5}S - (1-t)\triangle OBP = \frac{2}{5}S - (1-t)\frac{2}{5}S = \frac{2}{5}t S$

$\triangle OQR = \frac{1}{4}\triangle BQP$

$\frac{3(1-t)^2}{5(3+2t)} = \frac{1}{4} \frac{2t}{5} = \frac{t}{10}$

$\frac{3(1-t)^2}{3+2t} = \frac{t}{2}$

$6(1-2t+t^2) = t(3+2t)$

$6-12t+6t^2 = 3t+2t^2$

$4t^2-15t+6 = 0$

$t = \frac{15 \pm \sqrt{225-96}}{8} = \frac{15 \pm \sqrt{129}}{8}$

$0 < t < 1$ より、$t = \frac{15 - \sqrt{129}}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{OR}{RA} = \frac{3-3t}{5t}$

(2) $\frac{BQ}{QR} = \frac{3+2t}{2(1-t)}$

(3) $t = \frac{15-\sqrt{129}}{8}$